一般化計量空間

数学、特に圏論において、一般化された計量空間は、対称性やその他のいくつかの性質を持たない計量空間です。 ^[1]正確には、それは、つまりの 1 点コンパクト化上で強化されたカテゴリです。この概念は、計量空間がカテゴリの特定の種類として見ることができることに気づいた Lawvere によって 1973 年に導入されました。 $[0,\infty ]$ $\mathbb {R}$

カテゴリー的な観点は、米田の補題により、一般化された計量空間をはるかに大きなカテゴリーに埋め込むことができ、例えば、その空間のコーシー完備化を構築できるため有用である。

注記

^ つまり、異なる要素間の距離がゼロではないという性質と、2 つの要素間の距離が常に有限であるという性質です。

参考文献

ローヴィア、F. ウィリアム (1973)。「計量空間、一般化された論理、および閉じられたカテゴリ」。レンディコンティデルセミナリオマテマティコとフィジコディミラノ。43：135-166。土井：10.1007/BF02924844。
- Lawvere, FW (2002). 「距離空間、一般化論理、閉じたカテゴリ」(PDF)。カテゴリの理論と応用(1)の再版: 1–37。
ボルスー、フランシス。ドミニク・デジャン (1986)。「圏論におけるコーシーの完成」。カイエ・ド・トポロジーとジオメトリー・ディフェレンティエル・カテゴリケ。27 (2): 133–146。
Bonsangue, MM; Van Breugel, F.; Rutten, JJMM (1998). 「一般化距離空間: Yoneda埋め込みによる補完、トポロジー、およびパワードメイン」.理論計算機科学. 193 (1–2): 1–51. doi :10.1016/S0304-3975(97)00042-X. hdl : 1887/4083537 .

さらに読む

https://golem.ph.utexas.edu/category/2023/05/metric_spaces_as_enriched_categories_ii.html#more
https://golem.ph.utexas.edu/category/2022/01/optimal_transport_and_enriched_2.html#more
https://ncatlab.org/nlab/show/metric+space#LawvereMetricSpace

[1] つまり、異なる要素間の距離がゼロではないという性質と、2 つの要素間の距離が常に有限であるという性質です。