対角関数

数学の一分野である圏論では、対角関数は で与えられ、オブジェクトと射を写像します。この関数は、圏内のオブジェクトの積の簡潔な別の記述を与えるために使用できます。積はからへの普遍的な矢印です。矢印は射影マップで構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta (a)=\langle a,a\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle a\times b}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

より一般的には、 小さな インデックス カテゴリが与えられた場合、 関数カテゴリを構築できます。関数カテゴリ のオブジェクトは図と呼ばれます。の各オブジェクトに対して、 のすべてのオブジェクトをに、 のすべての射を にマップする定数図 が存在します。対角関数は、図の各オブジェクトに を、の自然変換の各射にを割り当てます(のすべてのオブジェクトに対してによって与えられます)。したがって、たとえば が 2 つのオブジェクトを持つ離散カテゴリである場合、対角関数が復元されます。 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta _{a}:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle 1_{a}}$${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta _{a}}$${\displaystyle f:a\rightarrow b}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle \eta_{j}=f}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

対角関数は、図式の極限と余極限を定義する方法を提供します。図式 が与えられた場合、(の何らかのオブジェクトに対する)自然変換はの錐と呼ばれます。これらの錐とその因数分解は、コンマ圏のオブジェクトと射に正確に対応し、 の極限はの終端オブジェクト、つまり普遍矢印です。双対的に、の余極限は、コンマ圏 の始端オブジェクト、つまり普遍矢印です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Delta _{a}\to {\mathcal {F}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\Delta \downarrow {\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (\Delta \downarrow {\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \Delta \rightarrow {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}\downarrow \Delta )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\rightarrow \Delta }$

からへのすべての関数に極限がある場合(が完全な場合はその通り)、極限を取る操作自体が から への関数です。極限関数は、対角関数の右随伴です。同様に、余極限関数 (カテゴリが余完全な場合に存在) は、対角関数の左随伴です。たとえば、上記の対角関数は、2項積関数の左随伴であり、2 項余積関数の右随伴です。 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

• 図（圏論）
• 円錐（圏論）
• 対角射影