T構造

ホモロジー代数と呼ばれる数学の分野において、t構造は導来範疇のアーベル部分範疇の特性を公理化する手段である。上のt構造は、正の次数、負の次数でそれぞれコホモロジーが消える複体の概念を抽象化する、三角形化範疇または安定無限大範疇の2 つの部分範疇から構成される。同じ範疇には多くの異なるt構造が存在する可能性があり、これらの構造間の相互作用は代数と幾何学に影響を及ぼしている。 t構造の概念は、 Beilinson、Bernstein、Deligne、および Gabber による倒錯層に関する研究で生まれた。^[1]${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

平行移動関数を持つ三角形カテゴリを固定します。上のt構造は、それぞれが同型性の下で安定であり、次の 3 つの公理を満たす完全なサブカテゴリの ペアです。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle [1]}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

1. Xがのオブジェクトであり、Yがのオブジェクトである場合、${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y[-1])=0.}$
2. X がのオブジェクトである場合、X [1] も のオブジェクトです。同様に、Y がのオブジェクトである場合、Y [-1] も のオブジェクトです。${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$
3. Aが の対象である場合、 X がの対象であり、Yが の対象であるような特別な三角形が存在します。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X\to A\to Y[-1]\to X[1]}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$

サブカテゴリおよびは、の拡大に対して閉じていることが示されます。特に、これらは有限直和に対して安定です。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

が上のt構造であると仮定します。この場合、任意の整数nに対して、をの完全なサブカテゴリとして定義します。このサブカテゴリの対象は の形式を持ち、 はの対象です。同様に、は の完全なサブカテゴリの対象であり、 はの対象です。簡単に定義すると、 ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X[n]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$${\displaystyle Y[n]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq n}&={\mathcal {D}}^{\leq 0}[n],\\{\mathcal {D}} ^{\geq n}&={\mathcal {D}}^{\geq 0}[n].\end{aligned}}}$

この表記法を用いると、上記の公理は次のように書き直すことができます。

1. Xがのオブジェクトであり、Yがのオブジェクトである場合、${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}\supseteq {\mathcal {D}}^{\leq 1}}$そして。${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}\supseteq {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$
3. Aが のオブジェクトである場合、 Yが のオブジェクトであり、Xが のオブジェクトであるような特別な三角形が存在します。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$

t構造の核心は、との両方に含まれるオブジェクトで構成される完全なサブカテゴリです。つまり、 ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\leq 0}\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0}.}$

t構造の中心はアーベル圏であり（三角形化圏は加法的ではあるが、アーベルになることはほとんどない）、拡張に対して安定である。

t構造を選択できる三角形のカテゴリは、tカテゴリと呼ばれることもあります。

t構造を定義するには、整数mとn を固定し、と を指定すれば十分であることは明らかです。一部の著者は、t構造を のペアとして定義しています。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq m}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})}$

2 つのサブカテゴリと は、互いを決定します。オブジェクトXが 内にあるのは、すべてのオブジェクトYに対してである場合に限り、逆もまた同様です。つまり、 は、互いに左直交補集合と右直交補集合です。したがって、とのいずれか 1 つだけを指定すれば十分です。さらに、これらのサブカテゴリは定義により完全であるため、それらのオブジェクトを指定すれば十分です。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y)=0}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 1})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$

上記の表記法はコホモロジーの研究に適応したものである。ホモロジーの研究を目的とする場合は、若干異なる表記法が用いられる。ホモロジーt構造とは、次のように定義される 対である。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0})}$

${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})=({\mathcal {D}}_{\geq 0},{\mathcal {D}}_{\leq 0}),}$

は上の（コホモロジー的）t構造である。つまり、定義は、上位の添え字が下位の添え字に変換され、との役割が入れ替わっていることを除いて同じである。定義すると、 ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \leq }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq n}&={\mathcal {D}}_{\geq 0}[n],\\{\mathcal {D}}_{\leq n}&={\mathcal {D}}_{\leq 0}[n],\end{aligned}}}$

すると、ホモロジーt構造の公理は次のように明示的に記述される。

1. Xがのオブジェクトであり、Yがのオブジェクトである場合、${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(X,Y)=0.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 1}\subseteq {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$そして。${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq 1}\supseteq {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$
3. Aが の対象である場合、 X がの対象であり、Yが の対象であるような特別な三角形が存在します。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq -1}}$

t構造の最も基本的な例は、導来カテゴリ上の自然なt構造です。をアーベルカテゴリとし、 をその導来カテゴリとします。すると、自然なt構造は、サブカテゴリのペアによって定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq 0}&=\{X\colon \forall i>0,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq 0}&=\{X\colon \forall i<0,\ H^{i}(X)=0\}.\end{aligned}}}$

すぐに次のことが分かります

${\displaystyle {\begin{aligned}D({\mathcal {A}})^{\leq n}&=\{X\colon \forall i>n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\geq n}&=\{X\colon \forall i<n,\ H^{i}(X)=0\},\\D({\mathcal {A}})^{\heartsuit }&=\{X\colon \forall i\neq 0,\ H^{i}(X)=0\}\cong {\mathcal {A}}.\end{aligned}}}$

この場合、 t構造の3番目の公理、つまり特定の三角形の存在は、次のように明示することができます。 がの値を持つコチェーン複体であるとします。定義します。 ${\displaystyle A^{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }&=(\cdots \to A^{-2}\to A^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to 0\to \cdots ),\\\tau ^{\geq 1}A^{\bullet }&=(\cdots \to 0\to 0\to A^{0}/\ker d^{0}\to A^{1}\to A^{2}\to \cdots ).\end{aligned}}}$

であることは明らかであり、複素数の短い正確な列が存在する。 ${\displaystyle \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }=A^{\bullet }/\tau ^{\leq 0}A^{\bullet }}$

${\displaystyle 0\to \tau ^{\leq 0}A^{\bullet }\to A^{\bullet }\to \tau ^{\geq 1}A^{\bullet }\to 0.}$

この正確なシーケンスにより、必要な区別された三角形が提供されます。

この例は、厳密なカテゴリ（Quillenの意味で）に一般化できます。^[2]有界、上有界、下有界導来カテゴリに も同様のt構造があります。が のアーベル部分カテゴリである場合、コホモロジーが にある複体からなる の完全な部分カテゴリは、 を核とする同様のt構造を持ちます。^[3]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle D_{\mathcal {C}}({\mathcal {A}})}$${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

倒錯層のカテゴリは、定義により、複素解析空間X上の層のカテゴリ、または (l 進層の場合には)有限体上の代数多様体の導来カテゴリ上の、いわゆる倒錯 t 構造の核となる。上で説明したように、標準 t 構造の核には、次数 0 に集中した複素数とみなされる通常の層が含まれるだけである。たとえば、(おそらく特異な) 代数曲線X (または類似しておそらく特異な曲面) 上の倒錯層のカテゴリは、特に次の形式のオブジェクトを含むように設計されている。

${\displaystyle i_{*}F_{Z},j_{*}F_{U}[1]}$

ここで、は点の包含、は通常の層、は滑らかな開部分スキーム、はU上の局所定数層です。それぞれZとUの次元に応じたシフトの存在に注意してください。このシフトにより、倒錯層のカテゴリは特異空間上で適切に動作します。このカテゴリの単純なオブジェクトは、既約な局所システム内の係数を持つ部分多様体の交差コホモロジー層です。この t 構造は、Beilinson、Bernstein、Deligne によって導入されました。^[4] Beilinson によって、ハートの導来カテゴリは実際には元の層の導来カテゴリと同等であることが示されました。これは、三角形のカテゴリに複数の異なる t 構造が付与される可能性があるという一般的な事実の例です。^[5]${\displaystyle i:Z\to X}$${\displaystyle F_{Z}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle F_{U}}$${\displaystyle D^{b}(Perv(X))}$

次数付き環上の（次数付き）加群の導来カテゴリ上のt構造の非標準的な例は、その中心が複体で構成されるという性質を持つ。

${\displaystyle \dots \to P^{n}\to P^{n+1}\to \dots }$

ここで、はその（次数付き）次数nによって生成される加群である。この t 構造は幾何学的 t 構造と呼ばれ、コズル双対性において重要な役割を果たしている。^[6]${\displaystyle P^{n}}$

スペクトルのカテゴリは、上記の意味で、単一のオブジェクト、つまり球スペクトルによって生成される t 構造を備えています。カテゴリは、負のホモトピー群が消える連結スペクトルのカテゴリです。(ホモトピー理論に関連する分野では、コホモロジー規則ではなくホモロジー規則を使用するのが一般的であるため、この場合は「 」(上付き文字)を「 」(下付き文字)に置き換えるのが一般的です。この規則を使用すると、連結スペクトルのカテゴリは と表されます。) ${\displaystyle Sp^{\leq 0}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle Sp_{\geq 0}}$

動機理論における予想上の例としては、いわゆる動機的t構造がある。その（予想上の）存在は、代数的サイクルに関する特定の標準的な予想や、ベイリンソン＝スーレ予想のような消失予想と密接に関係している。^[7]

アーベル圏の導来圏上の自然なt構造の上記の例では、第 3 公理によって保証される識別三角形は切断によって構築されました。複体の圏に対する操作として、切断と は関数的であり、結果として得られる複体の短い完全列は において自然です。これを使用して、導来圏上に切断関数があり、それらが自然な識別三角形を誘導することを示すことができます。 ${\displaystyle \tau _{\leq 0}A^{\bullet }}$${\displaystyle \tau _{\geq 1}A^{\bullet }}$${\displaystyle A^{\bullet }}$

実際、これは一般的な現象の例です。t構造の公理は切断関手の存在を前提としていませんが、そのような関手は常に構築可能であり、本質的に一意です。が三角カテゴリで、がt構造であると仮定します。正確な記述は、包含関手が ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\leq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}^{\geq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

随伴関数を認める。これらは関手である

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\colon &{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}^{\geq n}\end{aligned}}}$

そのような

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota ^{\leq n}\dashv \tau ^{\leq n},\\\tau ^{\geq n}\dashv \iota ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

さらに、 の任意のオブジェクトに対して、一意の ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle d\in \operatorname {Hom} ^{1}(\tau ^{\geq 1}A,\tau ^{\leq 0}A)}$

dと付加項の余単位と単位が一緒になって、特徴的な三角形を定義する。

${\displaystyle \tau ^{\leq 0}A\to A\to \tau ^{\geq 1}A\ {\stackrel {d}{\to }}\ \tau ^{\leq 0}A[1].}$

一意の同型性を除き、これは、それぞれ、およびのオブジェクトを持つ、形式の一意の区別された三角形です。この三角形の存在から、オブジェクトが(resp. )内にあるのは、 (resp. ) の場合のみであることが分かります。${\displaystyle X\to A\to Y\to X[1]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$${\displaystyle \tau ^{\geq n+1}(A)=0}$${\displaystyle \tau ^{\leq n-1}(A)=0}$

の存在は、シフトして反対のカテゴリを取ることによって、他の切断関手の存在を意味します。がの対象である場合、 t構造の3番目の公理は、内のと、特定の三角形に適合する射の存在を主張します。 各 に対して、そのような三角形を1つ固定し、 を定義します。 t構造の公理は、の任意の対象に対して、 次を意味します。${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle X\to A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \tau ^{\leq 0}(A)=X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (T,X)\cong \operatorname {Hom} (T,A),}$

同型性は射 によって誘導されます。これは、ある普遍的なマッピング問題に対する解として示されます。随伴関数に関する標準的な結果から、同型性が一意である点を除いて が一意であること、および射 上で を定義してそれを右随伴にする一意の方法があることが示されます。これは の存在を証明し、したがってすべての切断関数の存在を証明します。 ${\displaystyle X\to A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$

t構造の繰り返し切断は、複素数の繰り返し切断と同様に動作します。 の場合、自然な変換があります。 ${\displaystyle n\leq m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}&\to \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq n}&\to \tau ^{\geq m},\end{aligned}}}$

自然な等価性をもたらす

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau ^{\leq n}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq n}\circ \tau ^{\leq m},\\\tau ^{\geq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\geq m}\circ \tau ^{\geq n},\\\tau ^{\geq n}\circ \tau ^{\leq m}\ &{\stackrel {\sim }{\to }}\ \tau ^{\leq m}\circ \tau ^{\geq n}.\end{aligned}}}$

n番目のコホモロジー関数は次のように定義される 。 ${\displaystyle H^{n}}$

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\leq 0}\circ \tau ^{\geq 0}\circ [n].}$

名前が示すように、これは三角形のカテゴリに対する通常の意味でのコホモロジー関数である。つまり、任意の区別された三角形に対して、長完全列${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots .}$

代数的位相幾何学への応用では、コホモロジー関数はの代わりに表記されることがある。コホモロジー関数は の中心に値を取る。上記の繰り返し切断恒等式のうちの1つにより、自然同値性を除き、次のように定義することは同値である。 ${\displaystyle \pi _{n}}$${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$

${\displaystyle H^{n}=\tau ^{\geq 0}\circ \tau ^{\leq 0}\circ [n].}$

導来カテゴリ上の自然なt構造の場合、コホモロジー関手は、準同型性を除き、複体の通常のn番目のコホモロジー群である。しかし、複体上の関手として考えると、これは正しくない。例えば、自然なt構造で定義された を考えてみよう。定義により、これは ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle H^{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(A^{\bullet })&=\tau ^{\leq 0}(\tau ^{\geq 0}(A^{\bullet }))\\&=\tau ^{\leq 0}(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to A^{0}\to A^{1}\to \cdots )\\&=(\cdots \to 0\to A^{-1}/\ker d^{-1}\to \ker d^{0}\to 0\to \cdots ).\end{aligned}}}$

この複素数は、次数およびにおいて非ゼロであるため、明らかに複素数のゼロ次コホモロジー群と同じではありません。しかし、非自明な微分は単射であるため、唯一の非自明なコホモロジーは次数であり、これは複素数のゼロ次コホモロジー群です。したがって、 の 2 つの可能な定義は準同型であることがわかります。 ${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle A^{\bullet }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \ker d^{0}/\operatorname {im} d^{-1}}$${\displaystyle A^{\bullet }}$${\displaystyle H^{0}(A^{\bullet })}$

すべての の共通部分、およびすべての の共通部分が 0 個のオブジェクトのみで構成される場合、 t 構造は非退化です。非退化 t 構造の場合、関数のコレクションは保存的です。さらに、この場合、 (resp. )は、(resp. )に対してとなるオブジェクトの完全なサブカテゴリと同一視される場合があります。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$${\displaystyle \{H^{n}\}_{n\in \mathbf {Z} }}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H^{i}(A)=0}$${\displaystyle i>n}$${\displaystyle i<n}$

に対して、固定されたt構造を持つ三角形カテゴリを とします。 が正確な関数 (三角形カテゴリの通常の意味で、つまり自然な同値性を除いて平行移動と可換であり、区別された三角形を保存する) であると仮定します。すると、 は次のようになります。 ${\displaystyle i=1,2}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{i}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{i}^{\geq 0})}$${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}_{1}\to {\mathcal {D}}_{2}}$${\displaystyle F}$

• 左t正確、​${\displaystyle F({\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}}$
• t正確であり、かつ${\displaystyle F({\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0})\subseteq {\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}}$
• 左と右の両方がt正確な場合はt正確です。

が完全に忠実かつt正確である場合、 のオブジェクトが(それぞれ)内にあるのは、 が(それぞれ)内にある場合のみであることは明らかです。 が別の左 (それぞれ 右) t正確関数である場合、合成物も左 (それぞれ 右) t正確であることも明らかです。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\geq 0}}$${\displaystyle FA}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}^{\geq 0}}$${\displaystyle G\colon {\mathcal {D}}_{2}\to {\mathcal {D}}_{3}}$${\displaystyle G\circ F}$

片側t正確性特性の研究の動機は、それがハートの片側正確性特性につながることである。包含をとする。すると、合成関数が存在する。 ${\displaystyle \iota _{i}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{i}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{i}}$

${\displaystyle {}^{p}F=H^{0}\circ F\circ \iota _{1}^{\heartsuit }\colon {\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\to {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }.}$

が左（右）正確である場合、も左（右）正確であり、も左（右）正確である場合、 であることが示されます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle {}^{p}F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {}^{p}(G\circ F)=({}^{p}G)\circ ({}^{p}F)}$

が右（または左）t正確であり、が内（または）である場合、自然同型（または）が存在します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\geq 0}}$${\displaystyle {}^{p}F(H^{0}A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ H^{0}F(A)}$${\displaystyle H^{0}F(A)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ {}^{p}F(H^{0}A)}$

がへの左随伴関数を持つ正確な関数である場合、 がt正確右となるのはt正確左となる場合のみであり、この場合、は随伴関数のペアです。 ${\displaystyle (T^{*},T_{*})\colon {\mathcal {D}}_{1}\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle ({}^{p}T^{*},{}^{p}T_{*})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}^{\heartsuit }\leftrightarrows {\mathcal {D}}_{2}^{\heartsuit }}$

を 上のt構造とします。nが整数の場合、 n t構造による変換は です。双対t構造はによって定義される反対のカテゴリ上のt構造です。 ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq n},{\mathcal {D}}^{\geq n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\text{op}}}$${\displaystyle (({\mathcal {D}}^{\geq 0})^{\text{op}},({\mathcal {D}}^{\leq 0})^{\text{op}})}$

を三角形化カテゴリの三角形化サブカテゴリとします。が上のt構造である場合、 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle (({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})=({\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\leq 0},{\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}^{\geq 0})}$

が 上のt構造である場合、かつ が切断関手 の下で安定である場合に限ります。この条件が成り立つとき、t構造は誘導t構造と呼ばれます。誘導t構造の切断関手とコホモロジー関手は、上のそれらのへの制限です。したがって、へのの包含はt正確であり、 です。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle \tau ^{\leq 0}}$${\displaystyle (({\mathcal {D}}')^{\leq 0},({\mathcal {D}}')^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}')^{\heartsuit }={\mathcal {D}}^{\heartsuit }\cap {\mathcal {D}}'}$

倒錯層のカテゴリを構築するには、その空間で局所的に作業することで、空間上の層のカテゴリにt構造を定義できることが重要です。これを可能にするために必要な正確な条件は、次の設定に抽象化できます。3つの三角形のカテゴリと2つの射があるとします。

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}\ {\stackrel {i_{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}\ {\stackrel {j^{*}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{U}}$

以下の特性を満たす。

• 随伴関数の三つ組のシーケンスとが2 つあります。${\displaystyle (j_{!},j^{*},j_{*})}$${\displaystyle (i^{*},i_{*},i^{!})}$
• 関手、、 は完全かつ忠実であり、 を満たします。${\displaystyle i_{*}}$${\displaystyle j_{!}}$${\displaystyle j^{*}}$${\displaystyle j^{*}i_{*}=0}$
• の任意のKに対して、正確な三角形を作る一意の微分が存在する。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{!}j^{*}K&\to K\to i_{*}i^{*}K\to j_{!}j^{*}K[1],\\i_{*}i^{!}K&\to K\to j_{*}j^{*}K\to i_{*}i^{!}K[1].\end{aligned}}}$

この場合、および上のt構造がそれぞれ与えられていると、上のt構造は次のように定義され ます。${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0})}$${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0},{\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\leq 0},\ i^{*}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\leq 0}\},\\{\mathcal {D}}^{\geq 0}&=\{K\in {\mathcal {D}}\colon j^{*}K\in {\mathcal {D}}_{U}^{\geq 0},\ i^{!}K\in {\mathcal {D}}_{F}^{\geq 0}\}.\end{aligned}}}$

このt構造は、 UとF上のt構造の接着であると言われています。想定される使用ケースは、、、が空間X上の層の導来カテゴリ、開部分集合U 、およびUの閉補集合Fの下で有界である場合です。関数とは通常、プルバック関数とプッシュフォワード関数です。これは、特に、問題の層がX上の環の層上の左加群である場合、および層が ℓ 進層である場合に 機能します。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{F}}$${\displaystyle j^{*}}$${\displaystyle i_{*}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

多くのt構造は、以下の事実によって生じる：任意の直和を持つ三角形カテゴリ、および内のコンパクトオブジェクトの集合において、サブカテゴリ ${\displaystyle S_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\geq 1}&=\{X\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (S_{0}[-n],X)=0,n\geq 0\},\\{\mathcal {D}}^{\leq 0}&=\{Y\in {\mathcal {D}}\colon \operatorname {Hom} (Y,{\mathcal {D}}^{\geq 1})=0\},\end{aligned}}}$

はt構造であることが示されます。^[8]結果として得られるt構造はによって生成される${\displaystyle S_{0}}$と言われています。

三角圏のアーベル部分圏が与えられた場合、その部分圏上に の部分圏と を中心とするt構造を構築することが可能である。^[9]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

t構造の基本理論は、ほとんど変更せずに ∞ カテゴリの場合にも適用されます。 を安定した ∞ カテゴリとします。上のt構造は、そのホモトピー カテゴリ(三角形カテゴリ)上のt構造として定義されます。 ∞ カテゴリ上のt構造は、三角形カテゴリの場合と同様に、ホモロジー的またはコホモロジー的に表記できます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$

がホモトピー圏を持つ∞圏であり、が上のt構造であると仮定します。次に、各整数nに対して、および内のオブジェクトによって張られるの完全なサブカテゴリをそれぞれ およびと定義します。定義 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq 0},\mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq 0})}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\geq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\geq n}}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}_{\leq n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\geq n}\to {\mathcal {D}},\\\iota _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}_{\leq n}\to {\mathcal {D}}\end{aligned}}}$

は包含関手である。三角形のカテゴリの場合と同様に、これらはそれぞれ右および左の随伴関手、切断関手

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\geq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\geq n},\\\tau _{\leq n}&\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}_{\leq n}\end{aligned}}}$

これらの関数は、三角カテゴリの場合と同じ繰り返し切断恒等式を満たします。

上のt構造の中心は、∞ サブカテゴリ として定義されます。カテゴリは、そのホモトピーカテゴリの神経と同値です。コホモロジー関数は、または同値としてとして定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }={\mathcal {D}}_{\geq 0}\cap {\mathcal {D}}_{\leq 0}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$${\displaystyle \mathrm {h} {\mathcal {D}}^{\heartsuit }}$${\displaystyle \pi _{n}}$${\displaystyle \tau _{\geq 0}\circ \tau _{\leq 0}\circ [-n]}$${\displaystyle \tau _{\leq 0}\circ \tau _{\geq 0}\circ [-n]}$

が存在するということは、定義により、 が局所化関数であることを意味します。実際、上のt構造とt局所化と呼ばれる特定の種類の局所化関数の間には一対一の関係があります。これらは、本質的な像が拡大の下で閉じている局所化関数Lです。つまり、 がLの本質的な像にXとZを含むファイバー列である場合、YもLの本質的な像に含まれるということです。このような局所化関数Lが与えられた場合、対応するt構造は次のように定義されます。 ${\displaystyle \tau _{\leq n}}$${\displaystyle \iota _{\leq n}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle X\to Y\to Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{\geq 0}&=\{A\colon LA\simeq 0\},\\{\mathcal {D}}_{\leq -1}&=\{A\colon LA\simeq A\}.\end{aligned}}}$

t局所化関手は、 Lfが同値である射fによって特徴付けることもできる。∞-カテゴリの射の集合Sが準飽和であるとは、すべての同値を含み、 Sに 2 つの非退化辺を持つ の任意の 2 単体がSに 3 番目の非退化辺を持ち、プッシュアウトに対して安定である場合である。が局所化関手である場合、 Lfが同値であるすべての射fの集合Sは準飽和である。このとき、 Lがt局所化関手であるための必要十分条件は、 S がすべての射を含む射の最小の準飽和集合である場合である。^[10]${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle L\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \{0\to X\colon LX\simeq 0\}}$

アーベル圏の導来圏には、異なる有界条件に対応するいくつかのサブ圏がある。安定∞圏のt構造は、同様のサブ圏を構成するために使用できる。具体的には、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{+}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {D}}_{\leq n},\\{\mathcal {D}}_{-}&=\bigcup _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {D}}_{\geq n},\\{\mathcal {D}}_{b}&={\mathcal {D}}_{+}\cap {\mathcal {D}}_{-}.\end{aligned}}}$

これらは の安定したサブカテゴリです。の場合、は左有界(与えられたt構造に関して)、 の場合、は右有界、の場合、 は有界であると言えます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{-}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{b}}$

t構造に関して左または右の完成を形成することも可能である。これは、有向極限または有向余極限を形式的に隣接させることに類似している。の左完成 は、図のホモトピー極限である。 ${\displaystyle {\hat {\mathcal {D}}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {D}}_{\leq 2}\ {\stackrel {\tau _{\leq 1}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 1}\ {\stackrel {\tau _{\leq 0}}{\to }}\ {\mathcal {D}}_{\leq 0}\ {\stackrel {\tau _{\leq -1}}{\to }}\ \cdots .}$

右完備化は双対的に定義されます。左完備化と右完備化は、それ自体が標準的なt構造を継承する安定した ∞-カテゴリです。からいずれかの完備化への標準的な写像があり、この写像はt正確です。それぞれ左完備化または右完備化への標準的な写像が同値である場合、 は左完備または右完備であると言います。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

要件が反対の包含に置き換えられた 場合${\displaystyle D^{\leq 0}\subset D^{\leq 1}}$${\displaystyle D^{\geq 1}\subset D^{\geq 0};}$

${\displaystyle D^{\leq 0}\supset D^{\leq 1}}$、${\displaystyle D^{\geq 1}\supset D^{\geq 0},}$

他の2つの公理は同じままで、結果として生じる概念はco-t-構造または重み構造と呼ばれます。^[11]