完璧な複合体

代数学において、可換環A上の加群の完全複体は、有限射影A加群の有界複体に準同型であるA加群の導来カテゴリ内のオブジェクトです。完全加群とは、次数 0 に集中した複体として見たときに完全である加群のことです。たとえば、Aがノイザンである場合、 A上の加群が完全であるためには、有限生成かつ有限射影次元である必要があります。

完全複体は、まさにA加群の非有界導来圏におけるコンパクトオブジェクトである。^[1]また、それらはまさにこの圏における双対可能オブジェクトでもある。 ^[2]${\displaystyle D(A)}$

リングスペクトル上の（右と称する）モジュールスペクトルの∞カテゴリ内のコンパクトオブジェクトは、しばしば完全と呼ばれる。^[3]モジュールスペクトルも参照。

構造層がコヒーレントでない場合、コヒーレント層の操作は不便です (つまり、有限表現のカーネルがコヒーレントでない可能性があります)。このため、SGA 6 Expo I では擬似コヒーレント層の概念が導入されています。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

定義により、環空間 が与えられたとき、任意の整数 に対して、局所的に長さnの有限型の自由表現が存在するとき、 - 加群は擬似コヒーレントと呼ばれる。すなわち、 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle L_{n}\to L_{n-1}\to \cdots \to L_{0}\to F\to 0}$。

- 加群の複体F は、任意の整数nに対して、Lが 上で有界な次数を持ち、次数の有限自由加群で構成される準同型が局所的に存在する場合、擬似コヒーレントと呼ばれます。複体がゼロ次項のみで構成されている場合、それが加群としてそうである場合に限り、擬似コヒーレントです。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle L\to F}$${\displaystyle \geq n}$

大まかに言えば、擬似コヒーレント複合体は完全複合体の極限として考えることができます。

• ヒルベルト・バーチの定理
• 楕円複体（関連概念。SGA 6 Exposé II、付録 II で説明されています。）

• Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010)、「導出代数幾何学における積分変換とドリンフェルド中心」、アメリカ数学会誌、23 (4): 909–966、arXiv : 0805.0157、doi :10.1090/S0894-0347-10-00669-7、MR  2669705、S2CID  2202294

• ピエール・ベルトロ;アレクサンドル・グロタンディーク;リュック・イリュージー編（1971年）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des Intersections et Théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (数学の講義ノート225 )。数学の講義ノート (フランス語)。 Vol. 225.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 xii+700。土井：10.1007/BFb0066283。ISBN 978-3-540-05647-8MR  0354655 。
• Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018). 「代数的K理論とブローアップの降下」. Inventiones Mathematicae . 211 (2): 523–577. arXiv : 1611.08466 . Bibcode :2018InMat.211..523K. doi :10.1007/s00222-017-0752-2.
• Lurie, Jacob (2014)。「代数的 K 理論と多様体トポロジー (数学 281)、講義 19: リングスペクトルの K 理論」(PDF)。

• 「完全複体の行列式の恒等式」。MathOverflow。
• 「擬似コヒーレント複体の代替定義」。MathOverflow。
• 「15.74 完全複合体」。Stacksプロジェクト。
• 「完璧なモジュール」。ncatlab.org。