ホモトピー仮説

数学の一分野である圏論において、グロタンディークのホモトピー仮説は、ホモトピー理論的に言えば、∞-群圏は空間であると述べている。

この仮説の1つのバージョンは、1991年のカプラノフとヴォエヴォツキーの論文で証明されたと主張された。^{[ 1 ] [ 2 ]}彼らの証明は欠陥があることが判明し、カルロス・シンプソン^{[ 2 ]}によって解釈された彼らの結果は、現在シンプソン予想として知られている。^{[ 3 ]}

高次圏論では、通常の圏論における集合値前層の代わりに、空間値前層を考える。ホモトピー仮説に基づけば、ここでいう空間は∞群圏に拡張できる。

この仮説の正確な定式化は、∞-群圏の定義に大きく依存する。一つの定義としては、通常の圏の場合と同様に、∞-群圏とは、各射が可逆である∞-圏、あるいは同等に、そのホモトピー圏が群圏であるような∞-圏である、というものである。

さて、今日一般的に行われているように、∞-圏を弱いKan条件を満たす単体集合として定義すると、次の議論により、 ∞-群圏はKan複体（＝Kan条件を持つ単体集合）と正確に一致する。${\displaystyle X}$は Kan 複合体 (∞-圏として見なされる) であり、${\displaystyle f}$その射について考える${\displaystyle \sigma$ :\Lambda _{0}^{2}\to X} がホーンから${\displaystyle \sigma (0\to 1)=f,\,\sigma (0\to 2)=\operatorname {id} }$カン条件により、${\displaystyle \sigma }$拡張する$\displaystyle {\overline {\sigma }}:\Delta ^{2}\to X}$そして画像${\displaystyle g={\overline {\sigma }}(1\to 2)}$は左逆元である${\displaystyle f}$同様に、${\displaystyle f}$は右逆元を持つため可逆である。 ∞-群圏がKan複体であるという逆は自明ではなく、Joyalによるものである（Joyalの定理を参照）。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

上記の事実から、∞-群圏を単にカン複体として定義するのが一般的である。ミルナーの定理とCW近似によれば、カン複体は（妥当な）位相空間のホモトピー理論を完全に決定する。したがって、これは本質的に仮説を証明する。特に、∞-群圏をカン複体として定義する場合（ジョヤルの結果を回避）、仮説はほぼ自明となる。

しかし、∞群圏が異なる方法で定義される場合、その仮説は通常未解決のままである。特に、グロタンディークによる∞群圏の元の定義に基づく仮説は未解決のままである。

(弱い) n-群圏に対するホモトピー仮説のバージョンもあり、それは大まかに言うと^{[ 7 ] [ 8 ]である。}

この声明にはいくつかの説明が必要である。

• n-群圏は、通常、各射が可逆であるn-圏として定義されます。したがって、特に、その意味はn-圏の意味（例えば、通常はn-圏の何らかの弱いバージョン）に依存します。
• 「同じ」は通常、何らかの等価性（下記参照）を意味し、等価性の定義には、通常、∞-カテゴリなどのより高次の概念が使用されます。
• ホモトピーn型とは、各基点においてi番目のホモトピー群が消滅する妥当な位相空間（ i > n）を意味します（したがって、ここでいうホモトピーn型は、厳密には弱いホモトピーn型です）。

さらに、2つの概念間の等価性は、基本群圏のより高次のバージョン、または基本n群圏によって一方向に与えられると想定されている。${\displaystyle \Pi _{n}(X)}$空間Xの^{[ 9 ] [ 10 ]}

• オブジェクトはX内の点であり、
• 1-射${\displaystyle f:x\to y}$は点xから点yへの経路であり、その合成は 2 つの経路の連結である。
• 2-射はパスからのホモトピーである${\displaystyle f:x\to y}$道へ${\displaystyle g:x\to y}$、
• 3-射はホモトピー間の「写像」であり、
• そしてn-射まで続く。

もう一方の方向は、幾何学的実現によって示される。

このバージョンはまだ公開されています。

参照:アイレンベルク–マクレーン空間、交差モジュール。

• 代数的ホモトピー
• N群（圏論）
• Stacksを追求する
• 準カテゴリー
• 階層化された空間

• Baez, John C.; Dolan, James (1995). "高次元代数と位相的量子場理論". Journal of Mathematical Physics . 36 (11): 6073–6105 . arXiv : q-alg/9503002 . Bibcode : 1995JMP....36.6073B . doi : 10.1063/1.531236 .
• Baez, John C. (1997). 「n-圏入門」.圏論とコンピュータサイエンス. コンピュータサイエンス講義録. 第 1290巻. 1–33頁. arXiv : q-alg/9705009 . doi : 10.1007/BFb0026978 . ISBN  978-3-540-63455-3。
• Baez, John C.; Dolan, James (1998). "Categorification". arXiv : math/9802029 .
• Baez, John C. (2007). 「ホモトピー仮説」(PDF) .
• Baez, John C.; Shulman, Michael (2010). 「N-圏とコホモロジーに関する講義」。Towards Higher Categories . The IMA Volumes in Mathematics and its Applications. Vol.  152. pp. 1–68 . arXiv : math/0608420 . doi : 10.1007/978-1-4419-1524-5_1 . ISBN  978-1-4419-1523-8. MR 2664619 . 
• グロタンディーク、アレクサンダー（2021）。「スタックの追求」。arXiv ： 2111.01000 [ math.CT ]。
• Gurski, Nick; Johnson, Niles; Osorno, Angelica M. (2019a). "高次カテゴリからの位相的不変量".アメリカ数学会通知. 66 (8): 1. doi : 10.1090/NOTI1934 .
• Gurski, Nick; Johnson, Niles; Osorno, Angélica M. (2019b). "2次元安定ホモトピー仮説". Journal of Pure and Applied Algebra . 223 (10): 4348–4383 . arXiv : 1712.07218 . doi : 10.1016/j.jpaa.2019.01.012 .
• Haugseng, Rune (2025). 「高次圏論」.数理物理学百科事典. pp. 1–23 . arXiv : 2401.14311 . doi : 10.1016/B978-0-323-95703-8.00206-8 . ISBN  978-0-323-95706-9。
• Joyal, A. (2002). "準圏とKan複体". Journal of Pure and Applied Algebra . 175 ( 1–3 ): 207–222 . doi : 10.1016/S0022-4049(02)00135-4 .
• ルーリー、ジェイコブ（2009）。高次トポス理論（AM-170）。プリンストン大学出版局。ISBN 9780691140490. JSTOR j.ctt7s47v . 
• Land, Markus (2021). 「ジョヤルの定理、応用、およびドワイヤー・カン局所化」 .無限圏入門. コンパクト数学教科書. pp. 97–161 . doi : 10.1007/978-3-030-61524-6_2 . ISBN  978-3-030-61523-9. Zbl 1471.18001 . 
• マルツィニオティス、ジョルジュ（2010）。「グロタンディーク」${\displaystyle \infty }$-群状、そしてさらに別の定義${\displaystyle \infty }$-圏、§2.8. グロタンディーク予想（正確な形式）」. arXiv : 1009.2331 [ math.CT ].
• ニコラウス、トーマス (2011)。「高位カテゴリーの代数モデル」。Indagationes Mathematicae。21 ( 1–2 ): 52–75 . arXiv : 1003.1342。土井：10.1016/j.indag.2010.12.004。
• Riehl, Emily (2023). 「∞-圏論は学部生に教えることができるか？」アメリカ数学会報70 (5): 1. doi : 10.1090 /noti2692 .
• タムサマニ、ズハイル (1999)。 「Sur des notions de n -categorie et n -groupoide non strictes via des ensembles multi-simpliciaux (多単純集合による非厳密なn -category とn -groupoidの概念について)」。K理論（フランス語）。16 : 51–99。arXiv : alg - geom/ 9512006 。土井：10.1023/A:1007747915317。

• Henry, Simon (2022 年 5 月 26 日).グロタンディークのホモトピー仮説(PDF) .グロタンディーク、多才な巨人: 数学、論理学、哲学.
• Rezk, Charles (2022). 「準圏入門」（PDF）– ncatlab.org 経由。
• n Labにおけるホモトピー仮説
• 「カプラノフとヴォエヴォツキーによるホモトピー仮説の証明の誤りは何ですか？」MathOverflow
• 「グロタンディークのホモトピー仮説とホワイトヘッドの代数的ホモトピープログラムの現状」MathOverflow .