対称モノイドカテゴリ

数学の一分野である圏論において、対称モノイド圏とは、モノイド圏（つまり、「テンソル積」が定義されている圏）のうち、テンソル積が対称である（つまり、ある厳密な意味で、圏のすべての対象とに対して自然に同型である）圏である。対称モノイド圏の典型的な例の 1 つは、ベクトル空間の通常のテンソル積を使用する、ある固定体k上のベクトル空間の圏である。 ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle B\otimes A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

対称モノイドカテゴリとは、モノイドカテゴリ( C , ⊗, I ) であり、C内のオブジェクトのすべてのペアA、Bに対して、スワップマップ^[1]と呼ばれる同型が存在し、それがAとB の両方で自然であり、次の図が可換であるようなカテゴリです。 ${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$

• ユニットの一貫性:

  

• 結合一貫性:

  

• 逆の法則:

  

上の図では、a、l、r はそれぞれ結合同型、左単位同型、右単位同型です。

対称モノイドカテゴリの例と非例:

• 集合のカテゴリ。テンソル積は集合論的直積であり、任意のシングルトンを単位オブジェクトとして固定できます。
• 群のカテゴリ。前と同様に、テンソル積は群の直積にすぎず、自明群は単位オブジェクトです。
• より一般的には、有限積を持つ任意のカテゴリ、つまりデカルトモノイドカテゴリは対称モノイドです。テンソル積はオブジェクトの直積であり、任意の終端オブジェクト（空積）は単位オブジェクトです。
• 環R上の双加群のカテゴリはモノイド的 (加群の通常のテンソル積を使用) ですが、必ずしも対称的ではありません。R が可換である場合、左R加群のカテゴリは対称モノイド的です。後者の例のクラスには、特定の体上のすべてのベクトル空間のカテゴリが含まれます。
• 体kと群（またはk上のリー代数）が与えられたとき、群（またはリー代数）のすべてのk線型表現のカテゴリは対称モノイドカテゴリです。ここでは、表現の標準的なテンソル積が使用されます。
• 上のステレオタイプ空間のカテゴリ ( Ste , ) と ( Ste , ) は対称モノイドであり、さらに、 ( Ste , ) は内部ホム関数を持つ閉じた対称モノイドカテゴリです。${\displaystyle \circledast}$${\displaystyle \odot}$${\displaystyle {\mathbb {C} }}$${\displaystyle \circledast}$${\displaystyle \oslash}$

対称モノイドカテゴリの分類空間（神経の幾何学的実現）は空間であるため、その群完備化は無限ループ空間である。^[2]${\displaystyle E_{\infty}}$

ダガー対称モノイドカテゴリは、互換性のあるダガー構造を持つ対称モノイドカテゴリです。

コスモスは、完全な共完全な閉じた対称モノイドカテゴリ です。

対称モノイドカテゴリでは、自然同型はという意味でそれ自身の逆です。この要件を放棄すると（ただし が に自然同型であることは要求します）、より一般的な編み込みモノイドカテゴリの概念が得られます。 ${\displaystyle s_{AB}:A\otimes B\to B\otimes A}$${\displaystyle s_{BA}\circ s_{AB}=1_{A\otimes B}}$${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle B\otimes A}$

• nラボにおける対称モノイドカテゴリ
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