シンプレックスカテゴリ

数学において、単体圏（または単体圏、空でない有限順序数圏）は、空でない有限順序数と順序保存写像の圏である。単体および余単体オブジェクトを定義するために使用される。

単体カテゴリは通常と表記されます。このカテゴリには、同等の記​​述がいくつかあります。は、空でない有限順序数をオブジェクトとして、全順序集合として考え、(非厳密な) 順序保存関数を射として表すカテゴリとして記述できます。オブジェクトは一般に と表記されます(つまり、 は順序数 です)。カテゴリは、順序の要素を挿入または削除するコフェース マップとコード生成マップによって生成されます。(これらのマップの関係については単体セットを参照してください。) ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle [n]=\{0,1,\dots ,n\}}$${\displaystyle [n]}$${\displaystyle n+1}$

単体オブジェクトは上の前層であり、 から別のカテゴリへの反変関数です。たとえば、単体集合は、集合のカテゴリである余域カテゴリと反変です。余単体オブジェクトは、から発生する共変関数として同様に定義されます。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$

によって表される拡大単体圏は、すべての有限順序数と順序保存写像の圏であり、したがって、ただし です。したがって、この圏はFinOrdと表記されることもあります。拡大単体圏は、代数学者の単体圏と呼ばれることもあり、上記のバージョンは位相学者の単体圏と呼ばれます。 ${\displaystyle \Delta _{+}}$${\displaystyle \Delta _{+}=\Delta \cup [-1]}$${\displaystyle [-1]=\emptyset }$

上で定義される反変関数は拡大単体オブジェクトと呼ばれ、 から外れる共変関数は拡大余単体オブジェクトと呼ばれます。たとえば、共域カテゴリが集合のカテゴリである場合、これらはそれぞれ拡大単体集合および拡大余単体集合と呼ばれます。 ${\displaystyle \Delta _{+}}$${\displaystyle \Delta _{+}}$

拡大単体圏は、単体圏とは異なり、自然なモノイド構造 を許容します。モノイド積は線型順序の連結によって与えられ、単位は空順序数です(単位がないため、 上のモノイド構造とは言えません)。実際、は単一のモノイド オブジェクトによって自由に生成されるモノイド圏であり、 によって唯一の可能な単位と乗法とともに与えられます。この説明は、モノイド圏の任意のコモノイドオブジェクトがどのようにして単体オブジェクトを生成するかを理解するのに役立ちます。これは、コモノイドを含むモノイド圏への関数の像として見ることができるためです。拡大を忘れると、単体オブジェクトが得られます。同様に、モナドは自己関数圏のモノイド オブジェクトとして見ることができるため、これはモナド(したがって随伴関数) からの単体オブジェクトの構築も明らかにします。 ${\displaystyle [-1]}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta _{+}}$${\displaystyle [0]}$${\displaystyle \Delta _{+}^{\text{op}}}$

• 単体カテゴリ
• PROP（カテゴリー理論）
• 抽象単体複体

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999).単体ホモトピー理論. 数学の進歩. 第174巻. バーゼル・ボストン・ベルリン: Birkhäuser. doi :10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-7643-6064-1. MR  1711612。

• nラボのシンプレックスカテゴリ
• Simplex カテゴリの特別な点は何ですか?