関数カテゴリ

数学の一分野である圏論において、関数圏とは、オブジェクトが関数であり、射が関数間の自然変換である圏のことです(ここでは、圏内の別のオブジェクトです)。関数圏は、主に 2 つの理由で興味深いものです。 ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle \eta :F\to G}$${\displaystyle G:C\to D}$

• 一般的に出現する多くのカテゴリは（偽装された）関数カテゴリであるため、一般的な関数カテゴリに対して証明されたステートメントは広く適用可能です。
• すべてのカテゴリは関数カテゴリに埋め込まれます（米田埋め込み経由）。関数カテゴリは元のカテゴリよりも優れた特性を持つことが多く、元の設定では利用できなかった特定の操作が可能になります。

が小さなカテゴリ（つまり、オブジェクトと射が適切なクラスではなく集合を形成する）であり、が任意のカテゴリであるとします。 からへの関数のカテゴリは、Fun( , )、Funct( , )、、またはと書かれ、から への共変関数をオブジェクトとして持ち、そのような関数間の自然変換を射として持ちます。自然変換は合成できることに留意してください。 が関数 から への自然変換であり、 が 関数 から への自然変換である場合、合成によって からへの自然変換が定義されます。この自然変換の合成（垂直合成と呼ばれます。自然変換を参照）により、 はカテゴリの公理を満たします。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle [C,D]}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mu (X):F(X)\to G(X)}$${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle G:C\to D}$${\displaystyle \eta (X):G(X)\to H(X)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \eta (X)\mu (X):F(X)\to H(X)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle D^{C}}$

全く同様に、からまでのすべての反変関手のカテゴリを考えることもできます。これを Funct( ) と書きます。${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C^{\text{op}},D}$

と が両方とも前加法カテゴリである場合（つまり、それらの射集合がアーベル群であり、射の合成が双線型である場合）、からまでのすべての加法関数のカテゴリを考えることができ、これは Add( , ) と表記されます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

• が小さな離散カテゴリである場合（つまり、その唯一の射が恒等射である場合）、 から への関数は本質的にでインデックス付けされたのオブジェクトの族で構成されます。関数カテゴリは、対応する積カテゴリと同一視できます。つまり、その要素は 内のオブジェクトの族であり、その射は 内の射の族です。${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

• 矢印カテゴリ （そのオブジェクトは の射であり、その射は 内の可換な平方数である）は であり、ここで2 は2 つのオブジェクトとそれらの恒等射、および 1 つのオブジェクトから別のオブジェクトへの矢印（ただし、逆方向への矢印はない）を持つカテゴリです。${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$
• 有向グラフは、矢印の集合と頂点の集合、および各矢印の開始頂点と終了頂点を指定する、矢印集合から頂点集合への 2 つの関数で構成されます。したがって、すべての有向グラフのカテゴリは、関数カテゴリ に他なりません。ここで、 は2 つの平行射 (ソースとターゲット) によって接続された 2 つのオブジェクトを持つカテゴリであり、Set は集合のカテゴリを表します。${\displaystyle {\textbf {セット}}^{C}}$${\displaystyle C}$
• 任意のグループは 、すべての射が可逆である 1 つのオブジェクトのカテゴリと見なすことができます。すべての-集合のカテゴリは、関数カテゴリSetと同じです。自然変換は-写像です。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$^{${\displaystyle G}$}${\displaystyle G}$
• 前の例と同様に、群のK線型表現のカテゴリは、関数カテゴリVect _Kと同じです(ここで、Vect _{K は}体K上のすべてのベクトル空間のカテゴリを表します)。${\displaystyle G}$^{${\displaystyle G}$}
• 任意の環は 、1 つのオブジェクトの前加法カテゴリと見なすことができます。上の左加群のカテゴリは、加法関数カテゴリ Add( , ) (ここで、 はアーベル群のカテゴリを表します) と同じであり、右加群のカテゴリは Add( , ) です。この例のため、任意の前加法カテゴリ に対して、カテゴリ Add( , ) は「 上の左加群のカテゴリ」と呼ばれることがあり、Add( , ) は「 上の右加群のカテゴリ」と呼ばれます。${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\text{op}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\text{op}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle C}$
• 位相空間上の前層カテゴリは関数カテゴリです。位相空間を、の開集合をオブジェクトとして持ち、が に含まれる場合かつその場合に限りからへの単一の射を持つカテゴリに変換します。すると、 上の集合の前層カテゴリ (アーベル群、環) は、から への(またはまたは)反変関数カテゴリと同じになります。この例のため、カテゴリ Funct( , ) は、位相空間から生じない一般カテゴリに対しても、 「上の集合の前層カテゴリ」と呼ばれることがあります。一般カテゴリ上の層を定義するには、上のグロタンディーク位相という、より構造化されたものが必要です。(と同値なカテゴリを前層カテゴリと呼ぶ著者もいます 。 [ ^1] )${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\textbf {セット}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle {\textbf {リング}}}$${\displaystyle C^{\text{op}}}$${\displaystyle {\textbf {セット}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\textbf {セット}}^{C}}$

で実行できるほとんどの構成は、内の各オブジェクトについて個別に「コンポーネントごと」に実行することで、内でも実行できます。たとえば、 内の任意の 2 つのオブジェクトとに積 がある場合、 内の任意の 2 つの関数とには積 があり、これは内の すべてのオブジェクトに対して によって定義されます。同様に、が自然変換であり、それぞれがカテゴリ 内に核を持つ場合、関数カテゴリ 内の の核は、内のすべてのオブジェクトに対して を持つ関数です。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle F\times G}$${\displaystyle (F\times G)(c)=F(c)\times G(c)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta _{c}:F(c)\to G(c)}$${\displaystyle \eta_{c}}$${\displaystyle K_{c}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K(c)=K_{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle C}$

結果として、関数カテゴリはの「優れた」特性のほとんどを共有するという一般的な経験則が得られます。 ${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle D}$

• が完全（または共完全）であれば、 も完全です。${\displaystyle D}$${\displaystyle D^{C}}$
• がアーベル圏であれば、 もアーベル圏である。${\displaystyle D}$${\displaystyle D^{C}}$

以下もございます:

• が任意の小さなカテゴリである場合、前層のカテゴリはトポスです。${\displaystyle C}$${\displaystyle {\textbf {セット}}^{C}}$

したがって、上記の例から、位相空間上の有向グラフ、 -集合、および前層のカテゴリはすべて完全かつ共完全なトポイであり、位相空間上の の表現、環 上の加群、およびアーベル群の前層のカテゴリはすべてアーベル、完全かつ共完全であるとすぐに結論付けることができます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$

前述の関数カテゴリへのカテゴリの埋め込みでは、主なツールとして米田の補題が使用される。のすべてのオブジェクトに対して、をから への反変表現可能な関数とする。米田の補題は、割り当て ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{ホム}}(-,X)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\textbf {セット}}}$

${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)}$

は、カテゴリをカテゴリ Funct( , )に完全に埋め込むものです。したがって、自然にトポス内に収まります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\text{op}}}$${\displaystyle {\textbf {セット}}}$${\displaystyle C}$

同じことは任意の前加法カテゴリに対して実行できます。すると、米田は関数カテゴリ Add( , )へのの完全な埋め込みを生成します。したがって、 は自然にアーベルカテゴリ内に収まります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\text{op}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle C}$

上で述べた直感（ で実行できる構成は に「持ち上げる」ことができる）は、いくつかの方法で明確にすることができます。最も簡潔な定式化は、随伴関数という言語を使用します。すべての関数は、（ との合成によって）関数を誘導します。と が随伴関数のペアである場合、とも随伴関数のペアです。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle F:D\to E}$${\displaystyle F^{C}:D^{C}\to E^{C}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F^{C}}$${\displaystyle G^{C}}$

関数カテゴリは指数オブジェクトの形式的性質をすべて備えています。特に、からの関数は から への関数と自然に 1 対 1 に対応しています。したがって、関数を射として持つすべての小さなカテゴリのカテゴリは、直積閉カテゴリです。 ${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle E\times C\to D}$${\displaystyle E}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle {\textbf {猫}}}$

• 図（圏論）