ヤコブソン密度定理

数学、より具体的には非可換環論、現代代数学、加群理論において、ヤコブソンの密度定理は環 $R上の$ 単純加群に関する定理である。^[1]

この定理は、任意の原始環がベクトル空間の線型変換環の「稠密な」部分環として見ることができることを示すために適用できます。 ^[2]^{[3]この定理は、1945 年に}ネイサンジェイコブソンによる有名な論文「有限性仮定のない単純環の構造理論」で初めて文献に登場しました。^{[4]これは、}単純アルティン環の構造に関するアルティン-ウェダーバーン定理の結論の一種の一般化として見ることができます。

動機と正式な声明

$R を$ 環とし、U $を$ 単純右 $R$ 加群とする。 $u が$ $U$ の非ゼロ元であれば、 $u • R = U$ である（ただし $u • R$ $はu$ によって生成された $U$ の巡回部分加群）。したがって、 $u 、 v が$ $U$ の非ゼロ元であれば、 $u を$ $v$ に変換する $U$ の自己準同型を誘導する $R$ の元が存在する。ここで当然の疑問は、これが任意の（有限の）組の元に一般化できるかどうかである。より正確には、組 $（$ $x$ $1$ $、...、$ $x$ $n$ $）$ と $（$ $y$ $1$ $、...、$ $y$ $n$ $）$ について別々に必要かつ十分な条件を見つけ、すべての $iに対して$ $x$ $i$ $•$ $r$ $=$ $y$ $i$ という特性を持つ $R$ の元が存在するようにする。 $D が$ $Uのすべての$ $R$ 加群自己準同型の集合である場合、シュアーの補題は $D$ が分割環であると主張し、 $x$ $i が$ $D$ 上で線形独立であるという条件で、ヤコブソンの密度定理は組に関する質問に肯定的に答えます。

上記を念頭に置くと、定理は次のように述べることができます。

ヤコブソンの密度定理。U

を

単純右

R

加群、

D = End(U R)

、

X \subset Uを

有限かつ

D

線型独立集合とする。A

が

U上の

D

線型変換であれば、

X

内のすべての

xに対して

A

(

x

) =

x

•

r

となる

r

\in

R

が存在する。^[5]

証拠

ヤコブソンの密度定理では、右 $R$ 加群 $U は$ 、自然な方法で、 $D$ $= End($ $U$ $R$ $)$ である左 $D$ 加群として同時に見ることができます: $g$ $•$ $u$ $=$ $g$ $($ $u$ $) 。これは確かに$ $U$ 上の左加群構造であることが検証できます。^[6]前述のように、シューアの補題は、 $Uが単純であれば$ $D$ が分割環であることを証明し、したがって $U は$ $D$ 上のベクトル空間です。

この証明は、(Isaacs 1993) p. 185 で証明された次の定理にも依存しています。

定理。U

を

単純右

R

加群、

D = End(U R)

、

X \subset U を

有限集合とする

。R

における

X

の消滅を

I = ann R (X)

と記す。u

が

U

に含まれ、

u

•

I

= 0

とすると、

uは

XD

( X

のDスパン

)

に含まれる。

ヤコブソン密度定理の証明

$|$ $X$ $|$ に対して帰納法を使用します。X が空の場合 $、$ 定理は空虚に真であり、帰納法の基本ケースが検証されます。

$X$ が空でないと仮定し、 $x を$ $X$ の要素として $Y = X \{ x }$ と書きます。 $A が$ $U$ 上の任意の $D$ 線型変換である場合、帰納法の仮定により、 $Y$ のすべての $yに対して$ $A$ $($ $y$ $) =$ $y$ $•$ $s$ となるような $s$ $\in$ $Rが存在します。$ $I$ $= ann$ $R$ $($ $Y$ $)$ と書きます。 $x$ $•$ $I$ $がU$ のサブモジュールであることは容易にわかります。 $x$ $•$ $I$ $= 0$ の場合、前の定理は $x が$ $Y$ の $D$ スパンに含まれることを意味し、 $Xの$ $D$ 線型独立性と矛盾するため、 $x$ $•$ $I$ $\neq 0です。$ $U は$ 単純であるため、 $x$ $•$ $I$ $=$ $U$ となります。 $A$ $($ $x$ $) -$ $x$ $•$ $s$ $\in$ $U$ $=$ $x$ $•$ $I$ $であるため、 I$ に $i が$ 存在し、 $x$ $•$ $i$ $=$ $A$ $($ $x$ $) -$ $x$ $•$ $s$ となります。

$r = s + i$ と定義し、 $Y$ 内のすべての $y$ について次の式が成り立つことを確認します。

{\begin{aligned}y\cdot r&=y\cdot (s+i)\\&=y\cdot s+y\cdot i\\&=y\cdot s&&({\text{since }}i\in {\text{ann}}_{R}(Y))\\&=A(y)\end{aligned}}

$ここで、 x$ に対して同じ計算を行います。

{\begin{aligned}x\cdot r&=x\cdot (s+i)\\&=x\cdot s+x\cdot i\\&=x\cdot s+\left(A(x)-x\cdot s\right)\\&=A(x)\end{aligned}}

したがって、 $X$ 内のすべての $z$ について、期待どおりに $A (z) = z • r が$ $成立します。これで証明の帰納的ステップは完了です。数学的帰納法から、この定理は任意のサイズの有限集合X$ に対して成り立つことがわかります。

トポロジカル特性

環 $R が$ 単純右 $R$ 加群 $Uに$ 稠密に作用するとは、それがヤコブソン密度定理の結論を満たす場合を言う。 ^[7] $R を$ 「稠密」と記述するのには位相的な理由がある。第一に、 $R$ の各要素を右乗法によってそれが誘導する $D$ 線型変換と同一視することにより、 $R を$ $End($ $D$ $U$ $)$ の部分環と同一視することができる。 $U に$ 離散位相が与えられ、 $U$ $U に$ 積位相が与えられ、 $End($ $D$ $U$ $)を$ $U$ $U$ の部分空間とみなして部分空間位相が与えられる場合、 $Rがこの位相で$ $End($ $D$ $U$ $)$ に稠密集合である場合に限り、 $Rは$ $U$ に稠密に作用する。^[8]

結果

ヤコブソンの密度定理は、環の構造理論において様々な重要な結果をもたらす。^[9]特に、単純右アルティン環の構造に関するアルティン・ウェダーバーンの定理の結論が回復される。ヤコブソンの密度定理はまた、右または左の原始環を、 $D$ が分割環である $D$ ベクトル空間 $U上の$ $D$ 線型変換の環の稠密な部分環として特徴付ける。^[3]

他の結果との関係

この結果はフォン・ノイマンの二可換定理と関連しており、ヒルベルト空間 $H$ 上の作用素の*-代数 $A$ に対して、二重可換定理 $A'' は任意の有限ベクトル集合上の$ $A$ によって近似できると述べています。言い換えれば、二重可換定理は弱作用素位相における $A$ の閉包です。フォン・ノイマン代数設定のカプランスキー密度定理も参照してください。

注記

^ アイザックス、184ページ
^このような線型変換の環は 完全線型環とも呼ばれる。
^ アイザックス、系 13.16、p. 187
^ ジェイコブソン、ネイサン「有限性仮定のない単純環の構造理論」
^ アイザックス、定理 13.14、p. 185
^ちなみにこれも $D$ $-$ $R$ バイモジュール構造です。
^ ハーシュタイン、定義、p. 40
^ この場合、このトポロジーはコンパクトオープントポロジーと同じであることがわかります。Herstein、p. 41 ではこの説明が使用されています。
^ ハーシュタイン、41ページ

参考文献

IN ハーシュタイン (1968)。非可換環(第 1 版)。アメリカ数学協会。ISBN 0-88385-015-X。
アイザックス、I. マーティン(1993)。代数学、大学院課程(第 1 版)。ブルックス/コール。ISBN 0-534-19002-2。
Jacobson, N. (1945)、「有限性仮定のない単純環の構造理論」、Trans. Amer. Math. Soc.、57 (2): 228–245、doi : 10.1090/s0002-9947-1945-0011680-8、ISSN 0002-9947、MR 0011680

外部リンク

PlanetMath ページ

[1] アイザックス、184ページ

[2] ^このような線型変換の環は 完全線型環とも呼ばれる。

[Isaacs187-3] アイザックス、系 13.16、p. 187

[4] ジェイコブソン、ネイサン「有限性仮定のない単純環の構造理論」

[5] アイザックス、定理 13.14、p. 185

[6] ^ちなみにこれも $D$ $-$ $R$ バイモジュール構造です。

[7] ハーシュタイン、定義、p. 40

[8] この場合、このトポロジーはコンパクトオープントポロジーと同じであることがわかります。Herstein、p. 41 ではこの説明が使用されています。

[9] ハーシュタイン、41ページ