モナド（圏論）

固定された体kに対する二重双対化モナドは、次の随伴から生じる。

${\displaystyle (-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{op}:(-)^{*}}$

ここで、両方のファンクターは、ベクトル空間Vをその双対ベクトル空間に送ることによって与えられる。${\displaystyle V^{*}:=\オペレータ名 {Hom} (V,k)}$関連するモナドは、ベクトル空間Vをその二重双対に送ります。${\displaystyle V^{**}}$このモナドについては、 Kock (1970)によってより一般的に議論されている。

部分的に順序付けられた集合から生じるカテゴリの場合${\displaystyle (P,\leq )}$（単一の射から）${\displaystyle x}$に${\displaystyle y}$かつその場合に限り${\displaystyle x\leq y}$) の場合、形式ははるかに単純になります。随伴ペアはガロア接続であり、モナドは閉包演算子です。

例えば、${\displaystyle G}$を群の圏Grpから集合の圏Setへの忘却関手とし、 ${\displaystyle F}$集合の圏から群の圏への自由群関手とする。${\displaystyle F}$は左随伴である${\displaystyle G}$この場合、関連するモナド${\displaystyle T=G\circ F}$セットを取る${\displaystyle X}$そして、自由群の基となる集合を返します。${\displaystyle \mathrm {無料} (X)}$このモナドの単位写像は、写像によって与えられる。

${\displaystyle X\to T(X)}$

あらゆるセットを含む${\displaystyle X}$セットへ${\displaystyle \mathrm {無料} (X)}$自然な方法で、長さ 1 の文字列として。さらに、このモナドの乗算はマップです。

${\displaystyle T(T(X))\to T(X)}$

これは、「文字列の文字列」の自然な連結または「平坦化」から作られます。これは 2 つの自然な変換に相当します。自由群に関する前述の例は、普遍代数における代数の多様性の意味で、任意のタイプの代数に一般化できます。したがって、そのようなすべてのタイプの代数は、集合のカテゴリ上のモナドを生み出します。重要なことに、代数タイプはモナドから復元できます (アイレンベルク-ムーア代数のカテゴリとして)。したがって、モナドは普遍代数の一般化された多様性としても見なすことができます。

随伴から生じる別のモナドは、${\displaystyle T}$はベクトル空間の圏上の自己関手で、ベクトル空間を写像する。${\displaystyle V}$そのテンソル代数へ${\displaystyle T(V)}$、そして線形写像をそれらのテンソル積に写像する。すると、埋め込みに対応する自然な変換が得られる。${\displaystyle V}$そのテンソル代数への変換、およびからの写像に対応する自然な変換${\displaystyle T(T(V))}$に${\displaystyle T(V)}$すべてのテンソル積を展開するだけで得られる。

mayまたはpartialityモナドのエンドファンクターは、非交点を追加します: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle (-)_{*}:\mathbf {集合} \to \mathbf {集合} }$

${\displaystyle X\mapsto X\cup \{*\}}$

この単位は、一連の要素を含めることによって与えられる。${\displaystyle X}$の中へ${\displaystyle X_{*}}$:

${\displaystyle \eta _{X}:X\to X_{*}}$

${\displaystyle x\mapsto x}$

乗算マップの要素${\displaystyle X}$自分自身に、そして 2 つの分離した点${\displaystyle (X_{*})_{*}}$1つに${\displaystyle X_{*}}$。

関数型プログラミングと表示的意味論の両方において、maybeモナドは部分的な計算、つまり失敗する可能性のある計算をモデル化する。

集合が与えられた${\displaystyle S}$状態モナドのエンドファンクターは各セットをマッピングします${\displaystyle X}$関数の集合へ${\displaystyle S\to S\times X}$それは${\displaystyle S(X)=\{f:S\to S\times X\}}$、 そして${\displaystyle S(S(X))=\{f:S\to S\times (S\to S\times X)\}}$。

ユニットの構成要素${\displaystyle X}$各要素をマッピングします${\displaystyle x\in X}$機能へ

${\displaystyle \eta _{X}(x):S\to S\times X}$

${\displaystyle s\mapsto (s,x)}$

乗算は関数をマッピングします${\displaystyle f:S\to S\times (S\to S\times X),s\mapsto (s',f')}$機能へ

${\displaystyle \mu _{X}(f):S\to S\times X}$

${\displaystyle s\mapsto f'(s')}$

さらに詳しく言うと、${\displaystyle f\in S(S(X))}$ペアは${\displaystyle f=(f_{1},f_{2})}$どこ ${\displaystyle f_{1}:S\to S}$そして${\displaystyle f_{2}:S\to (S\to S\times X)}$、 となることによって ${\displaystyle f(s)={\big (}f_{1}(s),f_{2}(s):S\to (S\times X){\big )}}$。

カリーを逆転させることができる${\displaystyle f_{2}}$与える${\displaystyle f_{3}:(S\times S)\to (S\times X)}$これはさらに分割できます ${\displaystyle f_{4}:(S\times S)\to S}$そして${\displaystyle f_{5}:(S\times S)\to X)}$となることによって

${\displaystyle f_{2}(s_{1})(s_{2})=f_{3}(s_{1},s_{2})={\Big (}f_{4}(s_{1},s_{2}),f_{5}(s_{1},s_{2}){\Big )}}$

そうすれば、${\displaystyle f\in S(S(X))}$として

${\displaystyle f:S\times S\to S\times S\times X,\qquad f(s_{1},s_{2})={\Big (}f_{1}(s_{1}),f_{4}(s_{1},s_{2}),f_{5}(s_{1},s_{2}){\Big )}}$

これで結合を次のように与えることができます${\displaystyle \mu _{X}(f):S\to S\times X}$

${\displaystyle {\big (}\mu _{X}(f){\big )}(s)={\Big (}f_{4}(s,f_{1}(s)),f_{5}(s,f_{1}(s)){\Big )}}$

関数型プログラミングと表示的意味論では、状態モナドは状態を持つ計算をモデル化します。

集合が与えられた${\displaystyle E}$リーダーまたは環境モナドのエンドファンクターは各セットをマッピングします${\displaystyle X}$関数の集合へ${\displaystyle E\to X}$したがって、このモナドの自己関手は、まさにホム関手である。${\displaystyle \mathrm {Hom} (E,-)}$ユニットの構成要素は${\displaystyle X}$各要素をマッピングします${\displaystyle x\in X}$定数関数へ${\displaystyle e\mapsto x}$。

乗算は2変数関数をマッピングします${\displaystyle f:E\to (E\to X)}$その「対角成分」へ${\displaystyle (e\mapsto f(e,e)):E\to X}$言い換えれば、乗算は前合成であり、

${\displaystyle \Delta :E\to E\times E}$

${\displaystyle e\mapsto (e,e).}$

関数型プログラミングと表示的意味論において、環境モナドは、読み取り専用データへのアクセスを伴う計算をモデル化する。

リストまたは非決定性モナドは、集合X を、X の要素を持つ有限シーケンス (つまりリスト) の集合にマッピングします。ユニットは、Xの要素x を単一要素リスト [x] にマッピングします。乗算は、リストのリストを単一のリストに連結します。

関数型プログラミングでは、リストモナドは非決定的な計算をモデル化するために使用されます。共変冪集合モナドは集合モナドとも呼ばれ、同様に非決定的な計算をモデル化するために使用されます。

例えば、上で議論した自由群モナドの場合、${\displaystyle T}$-代数は集合である${\displaystyle X}$フリーグループから生成されたマップと共に${\displaystyle X}$に向かって${\displaystyle X}$結合性および単位性条件を満たす。このような構造は、次のように言うことと同等である。${\displaystyle X}$それ自体がグループである。

別の例としては、分布モナドがある。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$集合の圏について。集合を送ることによって定義される。${\displaystyle X}$関数の集合へ${\displaystyle f:X\to [0,1]}$有限のサポートを持ち、それらの合計が等しくなる${\displaystyle 1}$集合構成記法では、これは集合です。$${\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty \\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}}$$定義を調べると、分布モナド上の代数は凸集合、すなわち演算を備えた集合と同等であることが示される。${\displaystyle x+_{r}y}$のために${\displaystyle r\in [0,1]}$凸線形結合の挙動に類似した公理に従う${\displaystyle rx+(1-r)y}$ユークリッド空間において。^{[ 9 ]}

モナドのもう1つの有用な例は、次のカテゴリ上の対称代数ファンクターです。${\displaystyle R}$可換環の加群${\displaystyle R}$。$${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(-):{\text{Mod}}(R)\to {\text{Mod}}(R)}$$送信${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle M}$対称テンソルのべき乗の直和へ$${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)}$$どこ${\displaystyle {\text{Sym}}^{0}(M)=R}$。 例えば、${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$どこで${\displaystyle R}$右側の代数はモジュールとみなされる。すると、このモナド上の代数は可換である。${\displaystyle R}$-代数。交代テンソルのモナド上の代数も存在する。${\displaystyle {\text{Alt}}^{\bullet }(-)}$および全テンソル関数${\displaystyle T^{\bullet }(-)}$反対称性を与える${\displaystyle R}$-代数、そして自由${\displaystyle R}$-代数なので$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n})\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle \end{aligned}}}$$ここで、最初の環は、上の自由反対称代数である。${\displaystyle R}$で${\displaystyle n}$-生成子と、2 番目の環は自由代数である${\displaystyle R}$で${\displaystyle n}$発電機。

可換性についても同様の構成がある${\displaystyle \mathbb {S} }$-代数^{[ 10 ] 113ページ}、可換性を与える${\displaystyle A}$可換な代数${\displaystyle \mathbb {S} }$-代数${\displaystyle A}$。 もし${\displaystyle {\mathcal {M}}_{A}}$は、${\displaystyle A}$-モジュール、次にファンクター${\displaystyle \mathbb {P}$ :{\mathcal {M}}_{A}\to {\mathcal {M}}_{A}} は、次の式で与えられるモナドです。$${\displaystyle \mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j}}$$どこ$${\displaystyle M^{j}=M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M}$$${\displaystyle j}$-回。次に、関連するカテゴリがあります。${\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}}$可換の${\displaystyle A}$このモナド上の代数の圏からの代数。