デイ畳み込み

与えられた${\displaystyle F,G\colon \mathbf {C} \to \mathbf {D} }$2 つの対称モノイドに対して${\displaystyle \mathbf {C} ,\mathbf {D} }$そこで、我々は彼らのDay畳み込みを次のように定義する。

それは左カン延長線に沿って${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to ^{\otimes }\mathbf {C} }$組成物の${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to ^{F,G}\mathbf {D} \times \mathbf {D} \to ^{\otimes }\mathbf {D} }$

このようにオブジェクト上で評価される${\displaystyle O\in \mathbf {C} }$直感的に、コリミットは${\displaystyle \mathbf {D} }$の${\displaystyle F(x)\otimes G(y)}$近似に沿って${\displaystyle O\in \mathbf {C} }$純粋テンソルとして${\displaystyle x\otimes y}$

左kan拡張はcoendsを介して計算され、以下のバージョンになります。

させて${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes _{c})}$対称モノイド閉圏上に豊饒化されたモノイド圏である。${\displaystyle (V,\otimes )}$2つのファンクタが与えられた場合${\displaystyle F,G\colon \mathbf {C} \to V}$そこで、我々は彼らのデイ畳み込みを次のコエンドとして定義する。^{[ 2 ]}

${\displaystyle F\otimes _{d}G=\int ^{x,y\in \mathbf {C} }\mathbf {C} (x\otimes _{c}y,-)\otimes Fx\otimes Gy}$

もし${\displaystyle \otimes _{c}}$対称であれば、${\displaystyle \otimes _{d}}$も対称である。これにより、結合的なモノイド積が定義されることを示すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(F\otimes _{d}G)\otimes _{d}H\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2}}(F\otimes _{d}G)c_{1}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2}}\left(\int ^{c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\right)\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\otimes \mathbf {C} (c_{1}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{4}\otimes _{c}c_{2},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}Fc_{3}\otimes Gc_{4}\otimes Hc_{2}\otimes \mathbf {C} (c_{2}\otimes _{c}c_{4},c_{1})\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{1},-)\\[5pt]\cong {}&\int ^{c_{1},c_{3}}Fc_{3}\otimes (G\otimes _{d}H)c_{1}\otimes \mathbf {C} (c_{3}\otimes _{c}c_{1},-)\\[5pt]\cong {}&F\otimes _{d}(G\otimes _{d}H)\end{aligned}}}$