密度定理（圏論）

数学の一分野である圏論において、密度定理は、集合のすべての前層は標準的な方法で表現可能な前層の余極限であることを述べています。 ^[1]

例えば、定義により、単体集合は単体圏 Δ 上の前層であり、表現可能な単体集合はまさにその形式（標準n単体と呼ばれる）であるため、定理は次のように述べている。各単体集合Xに対して、 ${\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} (-,[n])}$

${\displaystyle X\simeq \varinjlim \Delta ^{n}}$

ここで、colim はXによって決定されるインデックス カテゴリ上を走ります。

F をカテゴリC上の前層、つまり関数カテゴリ の対象とする。余極限が実行されるインデックスカテゴリに対して、I をFの元のカテゴリとする。これは、 ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$

1. オブジェクトは、 C内のオブジェクトUと要素からなるペアであり、${\displaystyle (U,x)}$${\displaystyle x\in F(U)}$
2. 射はCの射から成り、${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$${\displaystyle u:U\to V}$${\displaystyle (Fu)(y)=x.}$

忘却関数が付属しています。 ${\displaystyle p:I\to C}$

するとFは図の余極限（つまり関数） となる。

${\displaystyle I{\overset {p}{\to }}C\to {\widehat {C}}}$

ここで、 2番目の矢印は米田埋め込みです。${\displaystyle U\mapsto h_{U}=\operatorname {Hom} (-,U)}$

f が上記の図を表すものとします。 f の余極限が F であることを示すには、次のことを示す必要があります。C上のすべての前層Gに対して、自然な一対一表現が存在します。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,G)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{G})}$

ここで、は値Gを持つ定数関数であり、右側のHomは自然変換の集合を意味する。これは、余極限の普遍的性質が対角関数の左随伴関数であると言うことに相当するためである。${\displaystyle \Delta _{G}}$${\displaystyle \varinjlim -}$${\displaystyle \Delta _{-}.}$

この目的のために、 を自然変換とします。これは、 I内のオブジェクトによってインデックス付けされた射の族です。 ${\displaystyle \alpha :f\to \Delta _{G}}$

${\displaystyle \alpha _{U,x}:f(U,x)=h_{U}\to \Delta _{G}(U,x)=G}$

は、次の性質を満たす：I内の各射に対して、 （ であるため） ${\displaystyle (U,x)\to (V,y),u:U\to V}$${\displaystyle \alpha _{V,y}\circ h_{u}=\alpha _{U,x}}$${\displaystyle f((U,x)\to (V,y))=h_{u}.}$

米田の補題によれば、自然な一対一 が存在する。この一対一のもとでは、 は一意の要素 に対応する。次の式が成り立つ。 ${\displaystyle G(U)\simeq \operatorname {Hom} (h_{U},G)}$${\displaystyle \alpha _{U,x}}$${\displaystyle g_{U,x}\in G(U)}$

${\displaystyle (Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}}$

なぜなら、米田の補題によれば、${\displaystyle Gu:G(V)\to G(U)}$${\displaystyle -\circ h_{u}:\operatorname {Hom} (h_{V},G)\to \operatorname {Hom} (h_{U},G).}$

ここで、 C内の各オブジェクトUに対して、が で与えられる関数であるとします。これにより、自然な変換が決定されます。実際、I内の各射に対して、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \theta _{U}:F(U)\to G(U)}$${\displaystyle \theta _{U}(x)=g_{U,x}}$${\displaystyle \theta :F\to G}$${\displaystyle (U,x)\to (V,y),u:U\to V}$

${\displaystyle (Gu\circ \theta _{V})(y)=(Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}=(\theta _{U}\circ Fu)(y )、}$

なぜなら。明らかに、この構築は可逆です。したがって、は必要な自然な一対一です。 ${\displaystyle (Fu)(y)=x}$${\displaystyle \alpha \mapsto \theta }$${\displaystyle \alpha \mapsto \theta }$

• Mac Lane, Saunders (1998)。Categories for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8.ZBL0906.18001  。​