インディ完了

数学において、ind 完成またはind 構築は、与えられたカテゴリCにフィルターされた余極限を自由に追加するプロセスです。この ind 完成カテゴリ内のオブジェクトは Ind( C ) と表記され、直接システムとして知られており、小さなフィルターされたカテゴリIからCへの関数です。

双対概念はプロ完了 Pro( C ) です。

直接システムは、フィルタされたカテゴリの概念に依存します。たとえば、カテゴリNは、そのオブジェクトが自然数であり、のときは常にnからmへの射が 1 つだけ存在するため、フィルタされたカテゴリです。 ${\displaystyle n\leq m}$

カテゴリーCの直接システムまたはindオブジェクトは、関数として定義されます。

${\displaystyle F:I\to C}$

小さなフィルタリングされたカテゴリIからCへのデータ。例えば、Iが上記のカテゴリNである場合、このデータはシーケンスに相当します

${\displaystyle X_{0}\to X_{1}\to \cdots }$

Cのオブジェクトと、表示されている射影の組み合わせ。

C内の Ind オブジェクトはカテゴリ ind- Cを形成します。

2つのindオブジェクト

${\displaystyle F:I\to C}$

そして

${\textstyle G:J\to C}$関数を決定する

I ^op x J セット、${\displaystyle \to}$

つまり、関数

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).}$

Ind( C )におけるFとGの間の射の集合は、この関数の2番目の変数における余極限と、それに続く1番目の変数における極限として定義されます。

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} {\text{-}}C}(F,G)=\lim _{i}\operatorname {colim} _{j}\operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).}$

より口語的に言えば、これは、射が各iに対する写像の集合から構成され、が（ iに応じて）十分に大きいことを意味します。 ${\displaystyle F(i)\to G(j_{i})}$${\displaystyle j_{i}}$

最終的なカテゴリI = {*}は、単一のオブジェクト*とその恒等射のみで構成され、フィルタリングされたカテゴリの例です。特に、C内の任意のオブジェクトXは、関数を生じます。

${\displaystyle \{*\}\to C,*\mapsto X}$

そして関数

${\displaystyle C\to \operatorname {Ind} (C),X\mapsto (*\mapsto X).}$

この関数は定義の直接的な結果として完全に忠実です。したがって、Ind( C ) はCよりも大きなカテゴリと見なすことができます。

逆に言えば、自然関数は一般には必要ない。

${\displaystyle \operatorname {Ind} (C)\to C.}$

しかし、Cがすべてのフィルタ付き余極限（直接極限とも呼ばれる）を持っている場合、その余極限に indオブジェクト（何らかのフィルタ付きカテゴリIの場合）を送信すると、${\displaystyle F:I\to C}$

${\displaystyle \operatorname {colim} _{I}F(i)}$

はそのような関数を与えるが、それは一般に同値ではない。したがって、たとえC がすでにすべてのフィルタリングされた余極限を持っているとしても、Ind( C ) はCよりも厳密に大きいカテゴリである。

Ind( C )内のオブジェクトは形式的な直接限界として考えることができるため、一部の著者はそのようなオブジェクトを次のように表記する。

${\displaystyle {\text{“}}\varinjlim _{i\in I}{\text{'' }}F(i).}$

この表記はピエール・ドリーニュによるものである。^[1]

カテゴリCからInd( C ) への移行は、カテゴリにフィルターされた余極限を自由に追加することになります。このため、この構成はCのind 完備化とも呼ばれます。これは、次の主張によって明確になります。すべてのフィルターされた余極限を持つカテゴリDの値を取る任意の関数は、 C上の値が元の関数Fであり、すべてのフィルターされた余極限を保存するという要件によって一意に決定される関数に拡張されます。 ${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle Ind(C)\to D}$

Ind( C )の射の設計により、 Cの任意のオブジェクトXはInd( C )のオブジェクトとして見なすとコンパクトになる。つまり、コア表現可能な関数

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} (C)}(X,-)}$

はフィルタリングされた余極限を保存します。これは、 CまたはオブジェクトXが何であっても当てはまりますが、これは、 X がC内でコンパクトである必要がないという事実とは対照的です。逆に、 Ind( C )内の任意のコンパクトオブジェクトは、X内のオブジェクトのイメージとして生じます。

カテゴリCは、ある小さなカテゴリ に対してと同値である場合に、コンパクト生成と呼ばれます。有限集合のカテゴリFinSetの ind 完備化は、すべての集合のカテゴリです。同様に、 C が有限生成群のカテゴリである場合、ind-C はすべての群のカテゴリと同値です。 ${\displaystyle \operatorname {Ind} (C_{0})}$${\displaystyle C_{0}}$

これらの識別は、以下の事実に依存している。上で述べたように、すべてのフィルタリングされた余極限を持つカテゴリDの値を取る任意の関手は、拡大を持つ。 ${\displaystyle F:C\to D}$

${\displaystyle {\tilde {F}}:\operatorname {Ind} (C)\to D,}$

は、フィルターされた余極限を保存します。この拡張は、同値性を除いて一意です。まず、D内の任意のオブジェクトが、 C内の適切なオブジェクトcに対して、形式のオブジェクトのフィルターされた余極限として表現できる場合、この関手は本質的に全射です。次に、元の関手Fが完全に忠実であり、F がC内の任意のオブジェクトをD内のコンパクトオブジェクトに送信する場合のみ、完全に忠実です。 ${\displaystyle {\tilde {F}}}$${\displaystyle F(c)}$${\displaystyle {\tilde {F}}}$

これらの事実を、例えば包含関数に適用すると、

${\displaystyle F:\operatorname {FinSet} \subset \operatorname {Set} ,}$

同等性

${\displaystyle \operatorname {Ind} (\operatorname {FinSet} )\cong \operatorname {Set} }$

は、任意の集合が有限集合のフィルタされた余極限であるという事実（たとえば、任意の集合はその有限部分集合の和集合であり、フィルタされたシステムである）を表現し、さらに、任意の有限集合はSetの対象として見なした場合にコンパクトであるという事実を表現します。

他の範疇的概念や構成と同様に、ind-補完はpro-補完と呼ばれる双対を許容する。カテゴリPro( C )はind-オブジェクトの観点から次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Pro} (C):=\operatorname {Ind} (C^{op})^{op}.}$

（pro- Cの定義はグロタンディーク（1960）による。^[2]）

したがって、Pro( C )のオブジェクトは逆システムであるまたはCのプロオブジェクト。定義により、これらは反対のカテゴリの直接的なシステム、または同等の関数 である ${\displaystyle C^{op}}$

${\displaystyle F:I\to C}$

小さな共濾過カテゴリーIから。

Pro( C ) は任意のカテゴリCに対して存在しますが、他の数学的概念との関連により、いくつかの特殊なケースが注目に値します。

• C が有限群のカテゴリである場合、pro-C はprofinite 群とそれらの間の連続準同型のカテゴリに同値です。
• 順序付き集合にアレクサンドロフ位相を与えるプロセスにより、有限順序付き集合のカテゴリのプロカテゴリと、スペクトル位相空間および準コンパクト射のカテゴリとの同値が得られます。${\displaystyle \operatorname {Pro} (\operatorname {PoSet} ^{\text{fin}})}$
• ストーン双対性は、有限集合の圏のプロカテゴリーがストーン空間の圏と同値であると主張する。 [ 3 ^]${\displaystyle \operatorname {Pro} (\operatorname {FinSet} )}$

これらのプロカテゴリーにおける位相概念の出現は、それ自体がストーン双対性の特別なケースである同値性にまで遡ることができる。

${\displaystyle \operatorname {FinSet} ^{op}=\operatorname {FinBool} }$

これは有限集合を冪集合に送る（有限ブール代数とみなされる）。プロオブジェクトとインディオブジェクト間の双対性とインディ完備化の既知の記述は、特定の反対のカテゴリの記述も生み出す。たとえば、このような考察は、ベクトル空間のカテゴリ（固定体上）の反対のカテゴリが、線型コンパクトベクトル空間とそれらの間の連続線型写像のカテゴリと同値であることを示すために使用できる。^[4]

プロ完備化はインディコンプリートほど目立たないが、その応用には形状理論が含まれる。プロオブジェクトはプロ表現可能関数との関連を通じても生じ、例えばグロタンディークのガロア理論や変形理論 におけるシュレッシンジャーの基準などがある。

Tate オブジェクトは、 ind オブジェクトと pro オブジェクトの混合です。

ind-完了（および、双対的に、pro-完了）は、Lurie（2009）によって ∞-カテゴリに拡張されました。

• 直接極限 – 圏論における余極限の特殊なケース
• 逆極限 – 圏論における構成
• 圏論における完成