オーバーカテゴリ

数学、特に圏論において、オーバーカテゴリ（スライスカテゴリとも呼ばれる）とアンダーカテゴリ（コスライスカテゴリとも呼ばれる）は、被覆空間（エスパスエタール）などの複数のコンテキストで使用されるカテゴリの区別されたクラスです。これらは、あるカテゴリ内の固定されたオブジェクトを取り巻くデータを追跡するためのメカニズムとして導入されました。同様に定義されるアンダーカテゴリの双対概念があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

をカテゴリとし、^{[1] pg 59}の固定されたオブジェクトと する。オーバーカテゴリ（スライスカテゴリとも呼ばれる）は、オブジェクトがペアである関連カテゴリであり、が内の射である。すると、オブジェクト間の射は、次の図式が可換となるカテゴリ内の射によって与えられる。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$${\displaystyle (A,\pi )}$${\displaystyle \pi :A\to X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle f:(A,\pi )\to (A',\pi ')}$${\displaystyle f:A\to A'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &A'\\\pi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \pi '\\X&=&X\end{matrix}}}$

には、 が の射である対を対象とする、 の劣圏（コスライス圏とも呼ばれる）と呼ばれる双対概念がある。すると、 の射は の射によって与えられ、次の図式が可換となる。${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$${\displaystyle (B,\psi )}$${\displaystyle \psi :X\to B}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$${\displaystyle g:B\to B'}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&=&X\\\psi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \psi '\\B&\xrightarrow {g} &B'\end{matrix}}}$

これら2つの概念は、2カテゴリー理論^[2]と高次カテゴリー理論^{[3] （43ページ）}で一般化されており、定義は類似しているか本質的に同じです。

の多くのカテゴリカルな特性は、オブジェクト の関連する上カテゴリと下カテゴリによって継承されます。たとえば、 に有限積と余積 がある場合、積と余積は で構築でき、普遍特性を通じて への、または からの一意の射が存在するため、カテゴリと がこれらの特性を持つことは明らかです。さらに、これは極限と余極限にも当てはまります。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

サイトは、 グロタンディークによって初めて導入された位相空間のカテゴリカルな一般化であることを思い出してください。標準的な例の 1 つは、位相空間 の開部分集合をオブジェクトとするカテゴリ であり、射は包含写像によって与えられる位相空間 から直接得られます。すると、固定された開部分集合 に対して、オーバーカテゴリは上の誘導位相のカテゴリと標準的に同値になります。これは、 内のすべてのオブジェクトが に含まれる開部分集合であるためです。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\text{開く}}(X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\text{開く}}(X)/U}$${\displaystyle {\text{開く}}(U)}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle {\text{開く}}(X)/U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$

可換-代数のカテゴリは、可換環のカテゴリの下カテゴリと同等です。これは、可換環上の - 代数の構造が、環射によって直接エンコードされるためです。反対のカテゴリを考えると、それはアフィンスキームの上カテゴリ、または単に です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A/{\text{CRing}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle {\text{Aff}}/{\text{Spec}}(A)}$${\displaystyle {\text{Aff}}_{A}}$

文献で考察されているもう 1 つの一般的なオーバーカテゴリは、スキーム、滑らかな多様体、位相空間などの空間のオーバーカテゴリです。これらのカテゴリは、、上のスキームのカテゴリなど、固定されたオブジェクトに関連するオブジェクトをエンコードします。これらのカテゴリのファイバー積は、オブジェクトが固定されたオブジェクトのサブオブジェクトである場合、交差と見なすことができます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$

• コンマカテゴリ