サブオブジェクト分類器

圏論の数学分野において、部分対象分類子は特別な対象である。${\displaystyle \Omega }$あるカテゴリーに属する、つまり、非公式には、任意のオブジェクトのサブオブジェクトは${\displaystyle X}$から射に対応する${\displaystyle X}$に${\displaystyle \Omega }$これはブール値の集合の類似物を提供する。${\displaystyle \{0,1\}}$集合のカテゴリー以外のカテゴリーにおいて。

サブオブジェクト分類子の主な用途はトポス理論であり、そこでは基本トポスがサブオブジェクト分類子と特定の追加要件を持つカテゴリとして定義されます。基本トポスの内部言語では、サブオブジェクト分類子は真理値を解釈するために使用されるため、「真理値の対象」という別名もあります。

させて${\displaystyle X}$集合である。部分集合${\displaystyle Y\subseteq X}$は、その指示関数によって同等に記述することができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{Y}:X&\to \{0,1\}\\x&\mapsto {\begin{cases}1{\text{ if }}x\in Y\\0{\text{ if }}x\notin Y\end{cases}}\end{aligned}}}$$

非公式には、${\displaystyle X}$関数と関連付けることができる${\displaystyle X\to \{0,1\}}$サブオブジェクト分類器${\displaystyle \Omega }$あるカテゴリーの$\displaystyle {\mathcal {C}}}$は、${\displaystyle \{0,1\}}$集合のカテゴリーでは、オブジェクトのサブオブジェクトが存在します。${\displaystyle X}$から射と同一視できる${\displaystyle X}$サブオブジェクト分類器へ。インジケータ関数を使用してサブセットを復元します。${\displaystyle \chi }$「純粋にカテゴリー的な方法」では、引き返すことができる

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}&Y&\rightarrow &\{1\}&\\&\downarrow &&\downarrow \\&X&{\underset {\chi }{\rightarrow }}&\{0,1\}&\\\end{array}}}$$

関数は${\displaystyle \{1\}}$に${\displaystyle \{0,1\}}$は包含マップです。実際、部分集合は${\displaystyle Y:=\{x\in X\mid \chi (x)=1\}}$インクルージョンマップを搭載${\displaystyle Y\to X}$（そしてユニークで一定の地図${\displaystyle Y\to \{1\}}$) は、マップからへの正しい普遍性を持つため、そのような引き戻しです。${\displaystyle X}$これは、と合成すると定数関数1を与える。${\displaystyle \chi }$は、地図と同じです。${\displaystyle Y}$。

させて$\displaystyle {\mathcal {C}}}$は局所的に小さく、有限完備な圏である（終端対象をで表す）。${\displaystyle 1}$)サブオブジェクト分類器$\displaystyle {\mathcal {C}}}$2つの同等な方法で定義できます: ^{[ 1 ]}

• それは物体です${\displaystyle \Omega }$単射とともに${\displaystyle \operatorname {true} :1\hookrightarrow \Omega }$すべての単射が一意に引き戻しとなる${\displaystyle \operatorname {true} }$つまり、すべての単射に対して${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y}$一意の射が存在する${\displaystyle \chi _{\iota }:X\to \Omega }$特性関数または分類マップと呼ばれるもので、次の図はプルバック正方形（${\displaystyle$ !} は、 終端オブジェクトへの一意な射を表します。${\displaystyle 1}$):

• それは物体です${\displaystyle \Omega }$これはサブオブジェクトファンクタを表します${\displaystyle \operatorname {Sub}$ :{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} } 。つまり、自然な全${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$サブオブジェクト間${\displaystyle X}$射${\displaystyle X\to \Omega }$。

2番目の定義から始めると、単射性を復元できる。${\displaystyle \operatorname {true} :1\to \Omega }$サブオブジェクトとして${\displaystyle \Omega }$射に対応する${\displaystyle \operatorname {id}$ :\オメガ \to \オメガ } 。

準​​

• マイケル・アーティン;アレクサンダー・グロタンディーク;ジャン＝ルイ・ヴェルディエ（1964年）。Séminaire de Géometrie Algébrique IV。スプリンガー・フェルラーグ。
• Barr, Michael ; Wells, Charles (1985). Toposes, Triples and Theories . Springer-Verlag . ISBN 0-387-96115-1。
• ベル、ジョン（1988）。トポスと局所集合論入門。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。
• ゴールドブラット、ロバート（1983）。『トポイ：論理の範疇分析』ノースホランド社、ドーバー出版（2006年）より再版。ISBN 0-444-85207-7。
• ジョンストン、ピーター（2002）。象のスケッチ：トポス理論概説。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。
• ジョンストン、ピーター（1977）。トポス理論。アカデミック・プレス。ISBN 0-12-387850-0。
• Mac Lane, Saunders (1998). 『働く数学者のためのカテゴリー』 .大学院数学テキストシリーズ. 第5巻 （第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 . 
• Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992). Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory . Springer-Verlag . ISBN 0-387-97710-4。
• McLarty, Colin (1992).初等カテゴリー、初等トポス. オックスフォード:オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-853392-6。
• ペディッキオ、マリア・クリスティーナ；トーレン、ウォルター編（2004）。圏論的基礎。順序、位相、代数、層理論の特殊トピック。数学とその応用百科事典。第 97巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 . 
• テイラー、ポール（1999）。数学の実践的基礎。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-63107-6。