擬似アーベル圏

数学、特に圏論において、擬似アーベル圏は、前加法性があり、すべてのべき等性が核を持つような圏である。^[1]べき等射とは、という性質を持つオブジェクトの自己準同型であることを思い出してください。基本的な考察から、すべてのべき等性が余核を持つことがわかります。^{[2]擬似アーベル条件は前加法性よりも強いが、}アーベル圏の場合のように、すべての射が核と余核を持つという要件よりも弱い。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p\circ p=p}$

文献における pseudo-abelian の同義語にはpseudoabelianやKaroubian などがあります。

任意のアーベル圏、特にアーベル群の圏Abは擬アーベルです。実際、アーベル圏では、すべての射に核があります。

乗法射と組み合わせたrng (環ではありません!)のカテゴリは擬似アーベルです。

より複雑な例として、 Chow モチーフのカテゴリが挙げられます。Chow モチーフの構築には、以下で説明する擬似アーベル完備化が使用されます。

カロウビエンベロープ構成は、任意のカテゴリに、関数とともにカテゴリを関連付ける。${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$

${\displaystyle s:C\to \operatorname {Kar} C}$

となり、のすべてのべき等元 の像はに分割される。前加法カテゴリ に適用すると、カルービエンベロープ構成は の擬似アーベル完備化と呼ばれる擬似アーベルカテゴリを生成する。さらに、関手 ${\displaystyle s(p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C\to \operatorname {Kar} C}$

実際には加法射です。

正確に言うと、前加法カテゴリが与えられた場合、擬似アーベルカテゴリを次のように構築する。 のオブジェクトは、 のオブジェクトであり、の冪等であるペアである。射は ${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$${\displaystyle (X,p)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:(X,p)\to (Y,q)}$

それらの同型性 は${\displaystyle \operatorname {Kar} C}$

${\displaystyle f:X\to Y}$

となる。関数 ${\displaystyle f=q\circ f=f\circ p}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C\to \operatorname {Kar} C}$

は を取ることで与えられます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\mathrm {id} _{X})}$

• アーティン、マイケル(1972)。アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン＝ルイ・ヴェルディエ（編）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (数学の講義ノート269 ) (フランス語)。ベルリン;ニューヨーク: Springer-Verlag。 xix+525。