エピモルフィズム

圏論において、エピモーフィズムとは、すべての対象Zとすべての射g ₁ , g ₂ : Y → Zに対して、 右相殺的な射 f  : X → Yのことである。

${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.}$

エピモーフィズムは、全射関数または射影関数のカテゴリカル類似物です(集合のカテゴリでは、この概念は射影関数に正確に対応します) が、すべてのコンテキストで正確に一致するとは限りません。たとえば、包含は環エピモーフィズムです。エピモーフィズムの双対は単射です (つまり、カテゴリCのエピモーフィズムは、双対カテゴリC ^opの単射です)。 ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$

抽象代数学や普遍代数学の多くの著者は、エピモーフィズムを単に全射準同型または射影準 同型として定義しています。この代数的な意味でのすべてのエピモーフィズムは、カテゴリ理論の意味でのエピモーフィズムですが、その逆はすべてのカテゴリで真ではありません。この記事では、「エピモーフィズム」という用語は、上記のカテゴリ理論の意味で使用されます。詳細については、以下の § 用語を参照してください。

基礎関数が全射である具体的なカテゴリ内のすべての射は、エピモーフィズムです。多くの興味深い具体的なカテゴリでは、逆も当てはまります。たとえば、次のカテゴリでは、エピモーフィズムは、基礎となる集合に対して全射である射とまったく同じです。

• Set :集合と関数。Set内のすべての射影f : X → Y が射影的であることを証明するために、これを像f ( X ) の特性関数g ₁ : Y → {0,1}と定数 1 の写像g ₂ : Y → {0,1} の両方と合成します。
• Rel :二項関係と関係保存関数を持つ集合。ここでは、 Setと同じ証明を使用して、{0,1} に完全な関係 {0,1}×{0,1} を装備することができます。
• 正則:半順序集合と単調関数。f  :( X _, ≤)→( Y ,≤)が全射でない場合、Y \ f ( X )からy0_を取り、 g1  : Y →{0,1 }を{ y | y0≤y }の特性関数とし、g2  : Y →{0,1}を{ y | _y0 < y }の特性関数とする_{。これらの写像は}、{0,1}に標準順序0 < 1が与えられている場合、単調である。
• Grp :群と群準同型。Grpのすべてのエピモーフィズムが射影的であるという結果は、 Otto Schreierによるものです(彼は実際にはそれ以上のことを証明し、すべての部分群が 1 つの合併した部分群との自由積を使用してイコライザーである)。基本的な証明は (Linderholm 1970) にあります。
• FinGrp :有限群と群準同型。これも Schreier によるもので、(Linderholm 1970) で与えられた証明によってこのケースも確立されます。
• Ab :アーベル群と群準同型。
• Kベクトル:K体上のベクトル空間とK線型変換。
• Mod - R :環R上の右加群と加群準同型。これは前の 2 つの例を一般化したものです。Mod - Rのすべてのエピモーフィズムf : X → Yが射影的であることを証明するために、これを標準商写像g ₁ : Y → Y / f ( X ) と零写像g ₂ : Y → Y / f ( X ) の両方と合成します。
• Top :位相空間と連続関数。Top のすべてのエピモーフィズムが射影的であることを証明するために、 Setとまったく同じように進め、{0,1}に離散位相を与え、考慮されるすべてのマップが連続することを保証します。
• HComp :コンパクトな ハウスドルフ空間と連続関数。f : X → Yが射影的でない場合、y  ∈  Y  −  fXとします。fXは閉じているので、ウリゾーンの補題により、連続関数g ₁ : Y → [0,1] が存在し、g _{1 は}fX上で 0 、y上で 1 となります。 f をg ₁とゼロ関数g ₂ : Y → [0,1]の両方と合成します。

しかし、エピモーフィズムが射影的でない興味深い具体的なカテゴリも数多くあります。いくつかの例を以下に示します。

• モノイドのカテゴリMonでは、包含写像 N → Zは非全射写像です。これを理解するために、g ₁とg _2がZから何らかのモノイドMへの2 つの異なる写像であるとします。すると、 Z内の何らかのnに対して、g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ) なので、g ₁ (− n ) ≠ g ₂ (− n ) です。nまたは − nのいずれかがN内にあるため、 g ₁とg _2のNへの制約は不等です。
• 可換環R上の代数のカテゴリで、R [ N ] → R [ Z ] を取ります。ここで、R [ G ] はモノイドGのモノイド環であり、射は前の例のように包含N → Zによって誘導されます。これは、 1 が代数R [ Z ] を生成するという観察から従います( R [ Z ]の単位はZの0によって与えられることに注意してください)。また、 Zのnで表される元の逆は、 − nで表される元です。したがって、 R [ Z ]からの任意の準同型は、 Zの1で表される元上の値によって一意に決定されます。
• 環のカテゴリRingでは、包含写像Z → Qは非全射写像です。これを理解するには、前の例と同様に、 Q上の任意の環準同型はZへの作用によって完全に決定されることに注意してください。同様の議論から、任意の可換環Rからその局所化のいずれかへの自然な環準同型は、エピモフィズムであることが示されます。
• 可換環のカテゴリでは、環f  : R → Sの有限生成準同型がエピモピズムであるための必要十分条件は、Rのすべての素イデアルPに対して、 f ( P )によって生成されるイデアルQ がSであるか素数であり、Q がSでない場合、誘導写像Frac ( R / P ) → Frac( S / Q ) が同型であることです( EGA IV 17.2.6)。
• ハウスドルフ空間のカテゴリHausでは、エピモーフィズムはまさに稠密な像を持つ連続関数です。たとえば、包含写像Q → Rは非全射エピモーフィズムです。

上記は単射の場合とは異なり、単射の場合は、基礎となる関数が単射であるのがまさにその通りであることが多い。

非具体的なカテゴリにおけるエピモーフィズムの例としては、

• モノイドまたはリングが単一のオブジェクトを持つカテゴリ（乗算によって与えられる射の合成）と見なされる場合、エピモーフィズムはまさに右消去可能な要素です。
• 有向グラフをカテゴリ（オブジェクトが頂点、射がパス、射の合成がパスの連結）として考えると、すべての射はエピモーフィズムになります。

すべての同型写像はエピモーフィズムです。実際、必要なのは右側の逆写像だけです。つまり、fj = id _Yとなるようなj  : Y → Xの射が存在する場合、 f : X → Yはエピモーフィズムであることが容易にわかります。このような右側の逆写像を持つ写像は、分割エピモーフィズムと呼ばれます。トポスでは、モニック写像とエピモーフィズムの 両方である写像は同型です。

2 つの射影の合成もまた射影です。2 つの射影の合成fgが射影であれば、f は射影でなければなりません。

上記の例のいくつかが示すように、エピモーフィズムであるという特性は、射のみによって決定されるのではなく、コンテキストのカテゴリによっても決定されます。D がCのサブカテゴリである 場合、Cの射として考えたときにエピモーフィズムとなる Dのすべての射は、 Dのエピモーフィズムでもあります。ただし、逆は必ずしも成り立つわけではなく、より小さなカテゴリにはより多くのエピモーフィズムが存在する可能性があります (多くの場合、そうなります)。

圏論のほとんどの概念と同様に、エピモーフィズムは圏の同値の下で保存されます。つまり、同値F  : C → Dが与えられたとき、射fが圏Cのエピモーフィズムである場合と、F ( f ) がDのエピモーフィズムである場合に限ります。2つの圏の間の双対性により、エピモーフィズムが単射に変換され、逆もまた同様です。

エピモーフィズムの定義は、f  : X → Yがエピモーフィズムであるのは、誘導写像が

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}}$

はZのあらゆる選択に対して単射である。これは、誘導された自然変換

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}}$

関数カテゴリ Set ^Cにおける単射である。

すべての共等化子はエピモーフィズムであり、共等化子の定義における一意性要件の結果です。特に、すべてのコカーネルはエピモーフィズムになります。逆、つまりすべてのエピモーフィズムが共等化子であるということは、すべてのカテゴリで真ではありません。

多くのカテゴリでは、すべての射をエピモーフィズムとそれに続く単射の合成として記述できます。たとえば、群準同型f  : G → Hが与えられた場合、群K = im( f )を定義して、 fを、 fのように定義された全射準同型G → Kと、各要素をそれ自身に送信する入射準同型K → Hの合成として記述できます。任意の射をエピモーフィズムとそれに続く単射に因数分解することは、すべてのアーベルカテゴリで実行でき、また、§ 例で前述したすべての具体的なカテゴリでも実行できます (ただし、すべての具体的なカテゴリで実行できるわけではありません)。

その他の有用な概念としては、正規エピモーフィズム、極値エピモーフィズム、即時エピモーフィズム、強いエピモーフィズム、分割エピモーフィズムなどがあります。

• エピモーフィズムは、それがいくつかの平行射のペアの共等化子である場合に正則であると言われます。
• エピモーフィズムは、各表現 （ただし は単射 ）において、射が自動的に同型 となる場合、極端射であると言われる^[1]。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varphi }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$
• エピモーフィズムは、各表現 （ただし、は単射、はエピモーフィズム）において、射が自動的に同型である場合、即時的であると言われます。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \epsilon '}$${\displaystyle \mu}$

• 

  エピモーフィズムが強いとは、任意の単射と となる任意の射およびに対して、および となる射が存在するときを言う^{[1] [2]}。${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ ${\displaystyle \mu :C\to D}$${\displaystyle \alpha :A\to C}$${\displaystyle \beta :B\to D}$${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$${\displaystyle \delta :B\to C}$${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$
• となる射影が存在する場合、その射影は分割されていると言われます(この場合、 はの右逆射と呼ばれます)。${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \epsilon }$

環論にはホモロジー的エピモーフィズムという概念もあります。環の射 f : A → Bは、それがエピモーフィズムであり、導来カテゴリD( f ): D( B ) → D( A ) に完全かつ忠実な関手を誘導する場合、ホモロジー的エピモーフィズムと呼ばれます。

単射かつエピモーフィズムである射は双射と呼ばれる。すべての同型は双射であるが、その逆は一般には成り立たない。例えば、半開区間[0,1)から単位円S ^{1 (}複素平面の部分空間と考えられる) への写像で、 x をexp(2πi x )に写すもの(オイラーの公式を参照) は連続かつ全単射であるが同相ではない。これは逆写像が 1 で連続していないためである。したがって、これはカテゴリTopにおける同型ではない双射の例である。別の例は、カテゴリHausにおける埋め込みQ  → Rである。上で述べたように、これは双射であるが、全単射ではないため同型ではない。同様に、環のカテゴリでは、写像Z  → Qは双射であるが同型ではない。

エピモフィズムは、一般のカテゴリで抽象的な商オブジェクトを定義するために使用されます。2 つのエピモフィズムf ₁  : X → Y ₁とf ₂  : X → Y _2は、 j f ₁ = f ₂となる同型j  : Y ₁ → Y ₂が存在する場合に同値であると言われます。これは同値関係であり、同値クラスはXの商オブジェクトとして定義されます。  

対義語であるエピモーフィズムとモノモーフィズムは、ブルバキによって初めて導入された。ブルバキはエピモーフィズムを全射関数の省略形として用いている。初期の圏論者は、モノモーフィズムが単射とほぼ正確な類似であるのと同様に、エピモーフィズムは任意の圏における全射の正しい類似物であると信じていた。残念ながらこれは誤りである。強いまたは正則なエピモーフィズムは、通常のエピモーフィズムよりも全射に非常に近い動作をする。 サンダース・マクレーンは、基礎となる集合写像が全射である具体的な圏における写像であるエピモーフィズムと、現代的な意味でのエピモーフィズムであるエピック写像を区別しようとした。しかし、この区別は普及しなかった。

エピモーフィズムが全射と同一であるか、より優れた概念であると信じることはよくある間違いです。残念ながら、これはめったに当てはまりません。エピモーフィズムは非常に神秘的で、予期しない動作をすることがあります。たとえば、環のすべてのエピモーフィズムを分類することは非常に困難です。一般に、エピモーフィズムは独自の概念であり、全射に関連していますが、根本的に異なります。

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