コングロマリット（数学）

数学では、圏論の一つの宇宙の基礎の枠組みにおいて、^{[1] [2]}集合体という用語は、グロタンディーク宇宙の要素である区別された集合の対置として任意の集合に適用される。^{[3] [4] [5] [6] [7] [8]}

最も一般的な公理的集合論であるツェルメロ-フランケル集合論(ZFC)、フォン・ノイマン-バーネイス-ゲーデル集合論(NBG)、およびモース-ケリー集合論(MK) は、グロタンディーク宇宙の存在の補足公理を追加した後に生じる非保存的拡張を許容します。そのような拡張の例は、グロタンディーク宇宙の無限階層が仮定される タルスキ-グロタンディーク集合論です。 ${\displaystyle U}$

コングロマリットの概念は、クラスの「コレクション」を扱うために作られた。これはカテゴリー理論では望ましいことであり、各クラスは「より一般的なコレクション」、つまりコングロマリットの要素として考えることができる。技術的には、これは用語の変更によって整理されている。グロタンディーク宇宙が選択された公理的集合論（ZFC / NBG / MK）に追加されると、便利であると考えられる^{[9] [10]} ${\displaystyle U}$

• 「集合」という用語を の要素にのみ適用すると、${\displaystyle U}$
• 「クラス」という用語をサブセットにのみ適用する。${\displaystyle U}$
• 「コングロマリット」という用語をすべての集合（ の要素やサブセットである必要はありません）に適用します。${\displaystyle U}$

結果として、この用語では、各セットはクラスであり、各クラスはコングロマリットです。

形式的には、この構成は、初期公理集合論（ZFC / NBG / MK）のモデルを、この理論の拡張（「ZFC/NBG/MK+グロタンディーク宇宙」）において、宇宙として記述する。^{[1] ：195  [2] ：23}${\displaystyle U}$

初期の公理的集合論が、固有クラス（つまり、NBG および MK のすべての集合のクラスのような、他のどのオブジェクトの要素にもなり得ないオブジェクト）の考え方を認める場合、これらのオブジェクト（固有クラス）は、新しい理論（「NBG/MK+グロタンディーク宇宙」）での検討対象から除外されます。ただし、（ の補足的な存在公理によって生じる可能性のある問題を除いて）これは、ある意味では、古い理論（NBG または MK）のオブジェクトに関する情報の損失にはつながりません。これは、新しい理論（「NBG/MK+グロタンディーク宇宙」）でのモデルとしての表現が、クラスと呼ばれる通常のオブジェクト（固有クラスを含む）について NBG/MK で証明できることが、「NBG/MK+グロタンディーク宇宙」のクラス（つまり、 のサブセットについて。これには、 の要素ではないサブセットも含まれ、NBG/MK の固有クラスの類似物です）についても証明できることを意味するためです。同時に、クラスに関するいくつかの追加命題は「NBG/MK+グロタンディーク宇宙」では証明できるが、NBG/MKでは証明できないため、新しい理論は最初の理論と同等ではありません。 ${\displaystyle 集合}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

用語の変更は、「集合体規約」と呼ばれることもあります。^{[7] : 6} Mac Lane によってなされた最初のステップは、^{「 クラス}」という用語を集合のサブセットにのみ適用することです^。Mac Lane は既存の集合論用語を再定義しません。むしろ、クラスのない集合論 (NBG/MK ではなく ZFC) で作業し、そのメンバーを「小さな集合」と呼び^、その小さな集合とクラスが NBG の公理を満たすと述べています。集合は小さい必要がないため、「集合体」は必要ありません。 ${\displaystyle U.}$${\displaystyle U}$

「コングロマリット」という用語は、1970年代と1980年代のMathematical Reviews ^[11]のレビューに定義、説明、参照なしで登場し、時には論文にも登場します。^[12]

コングロマリットの慣習は有効であるが、曖昧さを避けるために、コングロマリットのみを使用する必要がある。つまり、コングロマリットは、ZFCの通常のやり方で「セット」と呼ばれるべきではない。^{[7] : 6}