フィルタリングされたカテゴリ

カテゴリー理論では、フィルターされたカテゴリーは、カテゴリーとして理解される有向集合の概念を一般化します(したがって、有向カテゴリーと呼ばれます。有向カテゴリーをフィルターされたカテゴリーの同義語として使用する人もいます)。共フィルターされたカテゴリーという双対的な概念があり、これについては以下で説明します。

カテゴリが フィルタリングされるのは ${\displaystyle J}$

• それは空ではない、
• における2つのオブジェクトとに対して、にはオブジェクトと2つの矢印とが存在する。${\displaystyle j}$${\displaystyle j'}$${\displaystyle J}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f:j\to k}$${\displaystyle f':j'\to k}$${\displaystyle J}$
• における任意の 2 つの平行な矢印に対して、となるオブジェクトと矢印が存在します。${\displaystyle u,v:i\to j}$${\displaystyle J}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w:j\to k}$${\displaystyle wu=wv}$

フィルターされた余極限は、フィルターされたカテゴリ である関数の余極限です。 ${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle J}$

反対のカテゴリがフィルタリングされている場合、カテゴリは共フィルタリングされます。詳しくは、カテゴリが共フィルタリングされる場合とは、 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J^{\mathrm {op} }}$

• それは空ではない、
• における2つのオブジェクトとに対して、にはオブジェクトと2つの矢印とが存在する。${\displaystyle j}$${\displaystyle j'}$${\displaystyle J}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f:k\to j}$${\displaystyle f':k\to j'}$${\displaystyle J}$
• における任意の 2 つの平行な矢印に対して、となるオブジェクトと矢印が存在します。${\displaystyle u,v:j\to i}$${\displaystyle J}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w:k\to j}$${\displaystyle uw=vw}$

コフィルタ限界は、コフィルタカテゴリで ある関数の限界です。 ${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle J}$

小さなカテゴリ が与えられた場合、表現可能な前層の小さなフィルターされた余極限である集合の前層は、カテゴリのind-オブジェクトと呼ばれます。カテゴリの ind-オブジェクトは、関数 (前層) のカテゴリの完全なサブカテゴリを形成します。の pro-オブジェクトのカテゴリは、反対のカテゴリ の ind-オブジェクトのカテゴリの反対です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{op}\to Set}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle Ind(C)}$${\displaystyle C^{op}\to Set}$${\displaystyle Pro(C)=Ind(C^{op})^{op}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{op}}$

「フィルタリングされたカテゴリ」の変形として「κ-フィルタリングされたカテゴリ」があり、次のように定義されます。これは、次の観察から始まります。上記のフィルタリングされたカテゴリの定義における 3 つの条件は、それぞれ、、、またはの形式の任意の図式上にココーンが存在することを意味します。これらの 3 つの形状の図式にココーンが存在するということは、任意の有限図式にココーンが存在することを意味します。言い換えると、カテゴリは(上記の定義に従って) フィルタリングされるためには、任意の有限図式上にココーンが存在する必要があります。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle \{\ \ \}\rightarrow J}$${\displaystyle \{j\ \ \ j'\}\rightarrow J}$${\displaystyle \{i\rightrightarrows j\}\rightarrow J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle d:D\to J}$

これを拡張すると、正規の基数κ が与えられたとき、 κ より小さい基数を持つすべての図式上にココーンが存在する場合、カテゴリは κ フィルターされていると定義されます。(小さな図式は、その定義域の射集合が基数 κ である場合に、基数 κ です。) ${\displaystyle J}$${\displaystyle d}$${\displaystyle J}$

κ-フィルターされた余極限は、κ-フィルターされたカテゴリである 関数の余極限です。 ${\displaystyle F:J\to C}$${\displaystyle J}$