ジェネレータ（圏論）

数学、特に圏論において、圏の生成元の族（または分離元の族）とは、 内の任意の2 つの異なる射（つまり ）に対して、内にと となる射が存在するような 内のオブジェクトのコレクションです。コレクションが単一のオブジェクトで構成される場合、それを生成元（または分離元）といいます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq Ob({\mathcal {C}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle f\neq g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle h:G\to X}$${\displaystyle f\circ h\neq g\circ h.}$${\displaystyle G}$

生成子はグロタンディークカテゴリの定義の中心です。

デュアルコンセプトは、コジェネレータまたはコセパレータと呼ばれます。

• アーベル群のカテゴリでは、整数の群は生成元です。つまり、 fとgが異なる場合、となる元が存在します。したがって、写像は十分です。${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)\neq g(x)}$${\displaystyle \mathbf {Z} \rightarrow X,}$ ${\displaystyle n\mapsto n\cdot x}$
• 同様に、1 点集合は集合のカテゴリの生成元です。実際、空でない集合はすべて生成元です。
• 集合のカテゴリでは、少なくとも 2 つの要素を持つ任意の集合はコジェネレータです。
• 環 R上の加群のカテゴリでは、それ自身との有限直和にある生成元には、直和対象としてRの同型コピーが含まれます。したがって、生成元加群は忠実であり、つまり、消滅子は 0 です。

• Mac Lane, Saunders (1998)、「Categories for the Working Mathematician (第2版)」、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98403-2、123ページ、セクションV.7

• nラボのセパレーター