グロタンディークの宇宙

数学において、グロタンディーク宇宙とは、以下の性質を持つ 集合U のことである。

1. x がUの要素であり、y が x の要素である場合、yもUの要素です。( U は推移的な集合です。)
2. xとy が両方ともUの要素である場合、 はUの要素です。${\displaystyle \{x,y\}}$
3. x がUの要素である場合、xの冪集合P ( x ) もUの要素になります。
4. がUの要素の族であり、I がUの要素である場合、和集合はUの要素です。${\displaystyle \{x_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}x_{\alpha }}$

グロタンディーク宇宙は、すべての数学を実行できる集合を提供することを意図しています。（実際、無数グロタンディーク宇宙は、自然な ∈ 関係、自然な冪集合演算などを備えた集合論のモデルを提供します）。グロタンディーク宇宙の要素は、小集合と呼ばれることもあります。宇宙のアイデアは、アレクサンダー・グロタンディークによるもので、彼は代数幾何学で適切なクラスを回避する方法として宇宙を使用しました。グロタンディークの最初の提案は、集合論の通常の公理に次の宇宙公理を追加することでした。すべての集合 に対して、を含む宇宙、つまりが存在する。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle U}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s\in U}$

非自明なグロタンディーク宇宙の存在は、ツェルメロ-フランケル集合論の通常の公理を超えており、特に、強く到達不可能な基数の存在を意味する。 タルスキ-グロタンディーク集合論は、すべての集合がグロタンディーク宇宙に属するという、いくつかの自動証明システムで使用される集合論の公理的扱いである。グロタンディーク宇宙の概念は、トポスでも定義できる。^[1]

例として、簡単な命題を証明します。

命題。かつならば。${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle y\subseteq x}$${\displaystyle y\in U}$

証明。 なぜなら。なぜなら、だから。${\displaystyle y\in P(x)}$${\displaystyle y\subseteq x}$${\displaystyle P(x)\in U}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle y\in U}$

任意のグロタンディーク宇宙Uには以下が含まれることを証明することも同様に簡単です。

• 各要素のすべてのシングルトン、
• Uの元でインデックスされたUの元すべての族のすべての積、
• Uの要素によってインデックス付けされたUの要素のすべての族のすべての互いに素な和集合、
• Uの要素によってインデックス付けされたUの要素のすべての族のすべての交差、
• Uの任意の2つの要素間のすべての関数、および
• 基数がUの要素であるUのすべての部分集合。

特に、最後の公理から、Uが空でない場合、U にはその有限部分集合のすべてと、各有限濃度の部分集合が含まれていなければならないことがわかります。また、定義から、任意のクラスの宇宙の交差は宇宙であることがすぐに証明できます。

グロタンディーク宇宙の簡単な例が 2 つあります。

• 空集合、そして
• すべての遺伝的に有限な集合 の集合。${\displaystyle V_{\omega}}$

他の例は構築するのがより困難です。大まかに言えば、これはグロタンディーク宇宙が強くアクセス不可能な基数と同等であるためです。より正式には、次の 2 つの公理は同等です。

(U) 各集合xに対して、 x ∈ Uとなるグロタンディーク宇宙U が存在する。

(C) 各基数 κ に対して、κ よりも確実に大きい強到達不可能な基数 λ が存在する。

この事実を証明するために、関数c ( U ) を導入します。定義:

${\displaystyle \mathbf {c} (U)=\sup _{x\in U}|x|}$

ここで、 | x | はxの濃度を意味します。任意のユニバースUについて、c ( U ) はゼロまたは強くアクセス不可能です。これがゼロでないと仮定すると、 Uの任意の要素のべき集合はUの要素であり、 Uのすべての要素はUのサブセットであるため、これは強い極限基数です。これが正則であることを確認するために、c _{λ が}Iでインデックス付けされた基数のコレクションであり、 Iと各c _λの濃度がc ( U )より小さいとします。次に、 c ( U )の定義により、Iと各c _{λ を}Uの要素で置き換えることができます。 Uの要素でインデックス付けされたUの要素の和はUの要素であるため、 c _λの合計はUの要素の濃度を持ち、したがってc ( U )より小さくなります。どの集合もそれ自体には含まれないという基礎公理を呼び出すと、 c ( U ) が | U | に等しいことが示されます。基礎公理が仮定されていない場合は、反例があります（たとえば、 U を、集合 x _αのすべての有限集合の有限集合などの集合とします。ここで、添え字 α は任意の実数で、各αについてx _α = { x _α }です。このとき、U は連続体の濃度を持ちますが、そのメンバーはすべて有限の濃度を持ち、したがって です 。詳細については、 Bourbaki の記事を参照してください）。 ${\displaystyle \mathbf {c} (U)=\aleph _{0}}$

κ を強くアクセス不可能な基数とします。任意のシーケンスs _n ∈ ... ∈ s ₀ ∈ Sに対して、 | s _n | < κであるとき、集合S は厳密に型κであるとします。( S自体は空のシーケンスに対応します。) このとき、厳密に型κであるすべての集合の集合u ( κ )は、基数κの Grothendieck 宇宙です。この事実の証明は長いので、詳細については、参考文献にリストされている Bourbaki の記事を再度参照します。

大基数公理 (C) が宇宙公理 (U) を意味することを示すために、集合xを選びます。x ₀ = xとし、各nに対して、 がx _nの要素の和集合であるとします。y =とします。 (C) により、 |y| < κとなる強くアクセス不可能な基数κが存在します。u ( κ ) を前の段落の宇宙とします。 x は厳密に κ 型であるため、x ∈ u ( κ )です。宇宙公理 (U) が大基数公理 (C) を意味することを示すために、基数κ を選択します。κ は集合であるため、グロタンディーク宇宙Uの要素です。 Uの基数は強くアクセス不可能であり、 κの基数よりも厳密に大きくなります。 ${\displaystyle x_{n+1}=\bigcup x_{n}}$${\displaystyle \bigcup_{n}x_{n}}$

実際、任意のグロタンディーク宇宙は、何らかのκに対してu ( κ )の形をとります。これは、グロタンディーク宇宙と強くアクセス不可能な基数との間の同値性の別の形を与えます。

任意のグロタンディーク宇宙Uについて、| U | はゼロ、、または強くアクセス不可能な基数のいずれかです。κがゼロ、、または強くアクセス不可能な基数である場合、グロタンディーク宇宙⁠ ⁠が存在します。さらに、u (| U |) = Uであり、| u ( κ )| = κです。${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle u(\kappa )}$

強くアクセス不可能な基数の存在はツェルメロ・フランケル集合論(ZFC)の公理からは証明できないため、空集合と以外の宇宙の存在もZFC からは証明できない。しかし、強くアクセス不可能な基数は大きな基数のリストの下端に位置するため、大きな基数を使用する集合論のほとんど (「ZFC に加えて、測定可能な基数が存在する」、「ZFC に加えて、ウッダン基数は無限に存在する」など) は、グロタンディーク宇宙が存在することを証明する。 ${\displaystyle V_{\omega}}$

• 構築可能な宇宙
• 宇宙（数学）
• フォン・ノイマン宇宙

• ブルバキ、ニコラス(1972)。 「ユニバース」。マイケル・アーティンで;アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン＝ルイ・ヴェルディエ（編）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 1 (数学の講義ノート269 ) (フランス語)。ベルリン;ニューヨーク: Springer-Verlag。 185–217ページ。 2016-08-09 のオリジナルからアーカイブ。2010 年 12 月 6 日に取得。
• 「宇宙」. PlanetMath . 2013-03-22 . 2024年11月25日閲覧。