無料カテゴリー

数学において、有向グラフまたは矢印によって生成される自由カテゴリまたはパスカテゴリは、1 つの矢印のターゲットが次の矢印のソースである場合に、矢印を自由に連結することによって生成される カテゴリです。

より正確には、カテゴリのオブジェクトは矢筒の頂点であり、射はオブジェクト間のパスである。ここで、パスは有限シーケンスとして定義される。

${\displaystyle V_{0}{\xrightarrow {\;\;E_{0}\;\;}}V_{1}{\xrightarrow {\;\;E_{1}\;\;}}\cdots {\xrightarrow {E_{n-1}}}V_{n}}$

ここで、は矢筒の頂点、は矢筒の辺、n は非負の整数の範囲です。矢筒のすべての頂点には、カテゴリの恒等写像を構成する「空のパス」があります。 ${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle E_{k}}$${\displaystyle V}$

合成操作はパスの連結です。与えられたパス

${\displaystyle V_{0}{\xrightarrow {E_{0}}}\cdots {\xrightarrow {E_{n-1}}}V_{n},\quad V_{n}{\xrightarrow {F_{0}}}W_{0}{\xrightarrow {F_{1}}}\cdots {\xrightarrow {F_{n-1}}}W_{m},}$

その構成は

${\displaystyle \left(V_{n}{\xrightarrow {F_{0}}}W_{0}{\xrightarrow {F_{1}}}\cdots {\xrightarrow {F_{n-1}}}W_{m}\right)\circ \left(V_{0}{\xrightarrow {E_{0}}}\cdots {\xrightarrow {E_{n-1}}}V_{n}\right):=V_{0}{\xrightarrow {E_{0}}}\cdots {\xrightarrow {E_{n-1}}}V_{n}{\xrightarrow {F_{0}}}W_{0}{\xrightarrow {F_{1}}}\cdots {\xrightarrow {F_{n-1}}}W_{m}}$. ^{[1] [2]}

合成の結果は合成の右オペランドから始まり、左オペランドで終わることに注意してください。

• Qが、そのオブジェクトからそれ自身への1 つの頂点と 1 つの辺f を持つ矢筒である場合、 Q上の自由カテゴリには矢印として1、f、f ∘ f、f ∘ f ∘ fなどが含まれます。 ^[2]
• Q を、頂点a、bと、 aからbおよびbからaへの辺e 、 fを持つ矢筒とします。すると、Q上の自由カテゴリには、2 つの恒等矢印と、eとf が交互に現れるすべての有限列に対する矢印が 1 つあります。これには、e、f、e ∘ f、f ∘ e、f ∘ e ∘ f、e ∘ f ∘ eなどが含まれます。^[1]
• Q が矢筒である場合、 Q上の自由カテゴリには（3 つの恒等矢印に加えて）矢印f、g、およびg ∘ f があります。${\displaystyle a{\xrightarrow {f}}b{\xrightarrow {g}}c}$
• 矢筒Qが頂点を1つしか持たない場合、 Q上の自由カテゴリはオブジェクトを1つしか持たず、Qの辺上の自由モノイドに対応する。^[1]

小さなカテゴリ Catのカテゴリには、矢筒カテゴリQuivへの忘却関手 Uがあります。

U  :猫→クイヴ

これはオブジェクトを頂点に、射を矢印にとります。直感的に、U は「どの矢印が合成で、どの矢印が恒等であるかを忘れます」。^[2]この忘却関手は、対応する自由カテゴリに矢を送る関手の 右随伴です。

箙上の自由カテゴリは、普遍的性質によって同型性まで 記述できます。C  : Quiv → Catを、箙をその箙上の自由カテゴリに導く関数とし (上記のとおり)、U を上で定義した忘却関数とし、G を任意の箙とします。すると、グラフ準同型I  : G → U ( C ( G )) が存在し、任意のカテゴリDと任意のグラフ準同型F  : G → U(D)が与えられると、 U ( F' )∘ I = Fとなる一意の関数F'  : C ( G ) → Dが存在し、次の図が可換となります。

関手Cは忘却関手Uの左随伴関手である。^{[1] [2] [3]}

• 自由厳密モノイドカテゴリ
• フリーオブジェクト
• 随伴関数