逆限界

数学において、逆極限（射影極限とも呼ばれる）は、いくつかの関連するオブジェクトを「接着」することを可能にする構成であり、正確な接着プロセスはオブジェクト間の射によって指定されます。したがって、逆極限は、その存在が考慮されるカテゴリに依存しますが、任意のカテゴリで定義できます。逆極限は、カテゴリ理論における 極限の概念の特殊なケースです。

双対カテゴリで作業することによって、つまり矢印を逆にすることによって、逆極限は直接極限または帰納的極限になり、極限は余極限になります。

まず、群と準同型の逆システム（または射影システム）の定義から始めます。 を有向半順序集合とします（すべての著者がI が有向であることを要求しているわけではありません）。 ( A _i ) _{i ∈ I}を群の族とし、すべての（順序に注意）に対して次の特性を持つ準同型の族があるとします。 ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle f_{ij}:A_{j}\to A_{i}}$${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}}$は 上の恒等式であり、${\displaystyle A_{i}}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}\quad {\text{すべての }}i\leq j\leq k に対して。}$

このとき、この対は上の群と射の逆システムと呼ばれ、この射はシステムの遷移射と呼ばれます。 ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f_{ij}}$

逆システムの逆極限をの直積の特定の部分群として定義します。 ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ 任意の }}i\leq j{\text{ }}I\right\}} に対して。}$

逆極限には、の各直積のi番目の成分を取り出す自然な射影π _i : A → A _iが備わります。逆極限と自然な射影は、次のセクションで説明する 普遍的な性質を満たします。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle I}$

が集合、^[1]半群、^[1]位相空間、^[1]環、加群（固定された環上の）、代数（固定された環上の）などであり、準同型が対応するカテゴリ内の射である場合にも、同じ構成を実行できます。逆極限もそのカテゴリに属します。 ${\displaystyle A_{i}}$

逆極限は、普遍的性質を用いて任意のカテゴリで抽象的に定義できます。を カテゴリC (上記と同じ定義)内のオブジェクトと射の逆システムとします。このシステムの逆極限は、 C内のオブジェクトXと、すべてのi ≤ jに対してπ _i = ∘ π _jを満たす射π _i : X → X _i (射影と呼ばれる)の組み合わせです。ペア ( X、π _i ) は、他の任意のペア ( Y 、ψ i ₎に対して、図式 ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$${\displaystyle f_{ij}}$

はすべてのi ≤ jに対して可換である。逆極限はしばしば

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$

逆システムと標準投影が理解されます。 ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$${\displaystyle \pi_{i}}$

いくつかのカテゴリでは、特定の逆システムの逆極限は存在しません。ただし、存在する場合は、強い意味で一意です。つまり、逆システムの任意の 2 つの逆極限XとX' が与えられた場合、射影マップと可換な 唯一の 同型 X ′ → Xが存在します。

カテゴリCの逆システムと逆極限は、関数による別の記述が可能です。任意の半順序集合Iは、 i ≤ jの場合にのみ、射が矢印i → jで構成される小さなカテゴリと見なすことができます。逆システムは、反変関数I → Cです。をこれらの関数のカテゴリとします (射として自然変換を持つ)。 CのオブジェクトX は、すべてのオブジェクトがXに等しく、すべての矢印がXの恒等関数である、自明な逆システムと見なすことができます。これにより、 Cから への「自明な関数」が定義されます。逆極限は、存在する場合、この自明な関数の右随伴として定義されます。 ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}}$${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}.}$

• p進整数の環は、指数集合が通常の順序の自然数であり、射影が「剰余を取る」環の逆極限です(モジュラー算術を参照)。つまり、シーケンスの各要素が前の要素に「投影」されるような整数のシーケンスを考えます。つまり、次のようになります。p進整数の自然な位相は、ここで暗示されているもの、つまり開集合として円筒集合を持つ積位相です。${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle (n_{1},n_{2},\dots )}$${\displaystyle n_{i}\equiv n_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$${\displaystyle i<j.}$
• p進ソレノイドは、指数集合が通常の順序の自然数であり、射影が「剰余を取る」位相群の逆極限です。つまり、実数列の各要素が前の要素に「投影」されるような実数列を考えます。つまり、その要素がちょうど の形式である場合は常に となります。ここで はp 進整数であり、 は「剰余」です。${\displaystyle \mathbb {R} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$${\displaystyle i<j.}$${\displaystyle n+r}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r\in [0,1)}$
• 可換環R上の形式的冪級数の環は、環 の逆極限として考えることができ、通常の順序で自然数で添え字が付けられ、 から への射影は自然な射影によって与えられます。${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]}$${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$
• 親有限群は、（離散）有限群の逆極限として定義されます。
• 逆システム ( X _i , )のインデックス セットI が最大元m を持つとします。このとき、自然な射影π _m : X → X _mは同型です。${\displaystyle f_{ij}}$
• 集合のカテゴリでは、すべての逆システムには逆極限があり、逆システムを形成する集合の積の部分集合として基本的な方法で構成できます。空でない有限集合の逆システムの逆極限は空ではありません。これは、グラフ理論におけるケーニッヒの補題の一般化であり、有限集合をコンパクトな離散空間と見なし、コンパクト性の有限交差特性の特徴付けを適用することで、ティコノフの定理で証明できます。
• 位相空間のカテゴリでは、すべての逆システムには逆極限があります。これは、基礎となる集合論的逆極限に初期位相を配置することによって構築されます。これは極限位相として知られています。
  • 無限弦の集合は有限弦の集合の逆極限であり、したがって極限位相を備えている。元の空間は離散的であるため、極限空間は完全に分離されている。これは、 p進数とカントール集合を​​（無限弦として）実現する 1 つの方法です。

アーベル圏 Cの場合、逆極限関手

${\displaystyle \varprojlim :C^{I}\rightarrow C}$

は左厳密である。I が順序付き（単純に半順序付きではない）かつ可算 で、C がアーベル群のカテゴリ Ab である場合、ミッタク＝レフラー条件は遷移射f _ijに対する条件であり、 の厳密性を保証する。具体的には、アイレンバーグは関手を構築した。 ${\displaystyle \varprojlim }$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab} }$

（「リムワン」と発音する）であり、（A _i、f _ij）、（B _i、g _ij）、（C _i、h _ij）がアーベル群の3つの逆システムであり、

${\displaystyle 0\rightarrow A_{i}\rightarrow B_{i}\rightarrow C_{i}\rightarrow 0}$

逆システムの 短い正確な列である場合、

${\displaystyle 0\rightarrow \varprojlim A_{i}\rightarrow \varprojlim B_{i}\rightarrow \varprojlim C_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}}$

はAb内の正確な数列です。

アーベル群の逆システム ( A _i , f _ij )の射の値域が定常である場合、つまり、任意のkに対してj ≥ kが存在し、すべてのi ≥ jに対してである場合 、システムはミッタク・レフラー条件を満たすと言われます。 ${\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})}$

この条件の「ミッタク＝レフラー」という名前は、ブルバキが均一構造の章で、完全ハウスドルフ均一空間の逆極限に関する同様の結果に対して付けたものである。ミッタク＝レフラーは、ミッタク＝レフラーの定理の証明でも同様の議論を使った。

以下の状況は、ミッタグ・レフラー条件が満たされる例です。

• 射影f _ijが射影的であるシステム
• 有限次元ベクトル空間または有限アーベル群、有限長さの加群、またはアルティン加群のシステム。

がゼロでない例は、Iを非負整数とし、A _i = p ⁱ Z、B _i = Z、C _i = B _i / A _i = Z / p ⁱ Zとすると得られる。 ${\displaystyle \varprojlim {}^{1}}$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} }$

ここでZ _pはp進整数を表します。

より一般的には、C が十分な数の単射を持つ任意のアーベル圏であれば、C ^Iも十分な数の単射を持ち、逆極限関手の右導来関手を定義することができる。n番目の右導来関手は 次のように表される。

${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I}\rightarrow C.}$

Cがグロタンディークの公理（AB4*）を満たす場合、ヤン＝エリック・ルースはAb ^I上の関数lim ^{1を関数lim n}の級数に一般化し、

${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}$

ほぼ 40 年間、Roos はSur les foncteurs dérivés de lim. Applications.で、( A _i , f _ij ) が全射遷移射を持つ逆システムでI が非負整数の集合であるときlim ¹ A _i = 0 であることを証明したと考えられていました (このような逆システムはしばしば「ミッタク-レフラー列」と呼ばれます)。しかし、2002 年に、Amnon Neeman とPierre Deligne は、 (AB4) (に加えて (AB4*)) を満たすカテゴリで、lim ¹ A _i ≠ 0 となるようなシステムの例を構築しました。Roos はその後 (「逆極限の導来関手の再考」で)、C が(AB3) と (AB4*) を満たすことに加えて) 生成子の集合を持つ 場合、彼の結果が正しいことを示し

バリー・ミッチェルは (「有向集合のコホモロジー次元」で)、I が基数 ( d番目の無限基数) を持つ場合、すべてのn ≥ d + 2に対してR ⁿ lim がゼロになることを示しました。これは、 Rが可換環であるR加群のカテゴリのI添字付き図式に適用されます。任意のアーベルカテゴリでは必ずしも真ではありません (可算集合によって添字付けされた図式上の lim ⁿがn > 1に対してゼロでない アーベルカテゴリの例については、Roos の「逆極限の導来関手の再考」を参照してください )。 ${\displaystyle \aleph _{d}}$

逆極限のカテゴリカル双対は直接極限 (または帰納的極限) です。より一般的な概念は、カテゴリ理論の極限と余極限です。用語はやや紛らわしいですが、逆極限は極限のクラスであり、直接極限は余極限のクラスです。

• ブルバキ、ニコラス(1989)、代数 I、スプリンガー、ISBN 978-3-540-64243-5、OCLC  40551484
• ブルバキ、ニコラス（1989）、一般位相幾何学：第1-4章、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-64241-1、OCLC  40551485
• マック・レーン、サンダース（1998年9月）、Categories for the Working Mathematician（第2版）、Springer、ISBN 0-387-98403-8
• ミッチェル、バリー（1972）、「複数のオブジェクトを持つリング」、数学の進歩、8：1–161、doi：10.1016/0001-8708（72）90002-3、MR  0294454
• Neeman、Amnon (2002)、「ホモロジー代数における 1961 年の「定理」への反例 (ピエール・ドリーニュによる付録付き)」、Inventiones Mathematicae、148 (2): 397–420、doi :10.1007/s002220100197、MR  1906154
• Roos、Jan-Erik (1961)、「Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications」、CR Acad。科学。パリ、252 : 3702–3704、MR  0132091
• Roos, Jan-Erik (2006)、「逆極限の導関数の再考」、J. London Math. Soc.、シリーズ 2、73 ( 1): 65–83、doi :10.1112/S0024610705022416、MR  2197371
• Weibel, Charles A. (1994)の第 3.5 節。ホモロジー代数入門。Cambridge Studies in Advanced Mathematics。第 38 巻。Cambridge University Press。ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.