ウィリアム・ローヴェア

ウィリアム・ローヴェア
フィレンツェのローヴェレ、2003年
生まれる	フランシス・ウィリアム・ローヴェア ( 1937-02-09 )1937年2月9日 アメリカ合衆国インディアナ州マンシー
死亡	2023年1月23日(2023-01-23)（享年85歳） 米国ノースカロライナ州チャペルヒル
母校	コロンビア大学
知られている	トポス理論と数学哲学への貢献 ローヴェア理論 ローヴェアの不動点定理
受賞歴	「Premio Giulio Preti」、トスカーナ地方評議会より受賞(2010)
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	ニューヨーク州立大学バッファロー校
博士課程の指導教員	サミュエル・アイレンバーグ

フランシス・ウィリアム・ローヴェア（/ l ɔː ˈ v ɪər / ; 1937年2月9日 - 2023年1月23日）は、圏論、トポス理論、数学の哲学における研究で知られるアメリカの数学者でした。

インディアナ州マンシーに生まれ、マシューズ郊外の農場で育ったローヴェアは、インディアナ大学で数学の学士号を取得した。^[1]

ローヴェアは学部生としてクリフォード・トゥルーズデルのもとで連続体力学と運動論を学んだ。^{[2]彼はトゥルーズデルのもとで}関数解析の講義をしていたときに、ジョン・L・ケリーの教科書『一般位相幾何学』の問題から圏論を学んだ。

ローヴェアは、それがトゥルーズデルとウォルター・ノルの物理的なアイデアに対する単純で厳密な公理のための有望な枠組みであると考えた。トゥルーズデルは、 1960年にコロンビア大学で圏論の創始者であるサミュエル・アイレンバーグとさらに研究を進めたいというローヴェアの申請を支持した。^{[1] [3]}

博士号を取得する前に、ローヴェアはアルフレッド・タルスキとダナ・スコットの講義に従い、モデル理論と集合論の非公式学生としてバークレーで1年間を過ごした。リード大学での最初の教職では、基礎的な観点から微積分と抽象代数のコースを考案するよう指示された。彼は当時流行していた公理的集合論を使用しようとしたが、学部生には使えないことがわかったため、代わりに、より関連性の高い集合の写像の構成に関する最初の公理を開発した。彼は後にそれらの公理を「集合の圏の基本理論」 （1964年）にまとめ、これが初等トポス理論の構成要素（定数ケース）となった。

ローヴェアは長い闘病の末、2023年1月23日にノースカロライナ州チャペルヒルで85歳で亡くなった。^{[1] [3]}

ローヴェレは1963年にコロンビア大学でアイレンバーグとともに博士号を取得した。彼の博士論文は、代数理論の意味論の枠組みとして圏の圏を導入した。1964年から1967年まで、チューリッヒのETH数学研究所で圏の圏に取り組み、特にオーバーヴォルフアッハでのピエール・ガブリエルのグロタンディークの代数幾何学の基礎に関するセミナーに影響を受けた。その後、シカゴ大学でマック・レーンとともに、ニューヨーク市立大学大学院センター（CUNY）でアレックス・ヘラーとともに教鞭をとった。ローヴェレのシカゴでの圏論的ダイナミクスに関する講義はトポス理論へのさらなる一歩であり、CUNYでのハイパードクトリンに関する講義は、存在量化子と全称量化子は随伴関手の特殊なケースとして特徴付けられるという1963年の発見を用いて、圏論的論理を発展させた。

1968年と1969年にチューリッヒに戻り、グロタンディークのトポスの概念を一般化するトポスの基本的（一次）公理を提案し（トポス理論の歴史を参照）、代数位相学者の マイルス・ティアニーとともにこの理論の解明と応用に取り組んだ。ティアニーはグロタンディークの「位相」の記述において大きな簡略化を発見した。アンダース・コックは後にさらなる簡略化を発見し、トポスは積と等化子を持つカテゴリとして記述でき、その中で写像空間と部分対象の概念を表現できるようになった。ローヴェレはグロタンディークの位相は部分対象表現子の自己準同型として完全に記述できることを指摘し、ティアニーはそれが満たす必要のある条件は単に冪等性と有限交差の保存であることを示した。これらの「位相」は、部分位相を層カテゴリとして決定するため、 代数幾何学とモデル理論の両方で重要です。

ダルハウジー大学は1969年にローヴェアを筆頭にキラムの支援を受けた15名の研究者のグループを結成したが、1971年にこのグループは解散した。ローヴェアは、1970年の戦時措置法の使用に反対するなど政治的意見を表明したことや、許可なく数学の歴史を教えたことで物議を醸した。^[4]しかし、1995年にダルハウジー大学は、ローヴェアとサンダース・マクレーンが出席して圏論50周年の祝賀会を主催した。

ローヴェレはイタリアのペルージャでセミナーを開催し (1972–1974)、特にさまざまな種類の豊富なカテゴリに取り組みました。たとえば、計量空間は豊富なカテゴリと見なすことができます。^{[コンテキストが必要]} 1974年から2000年に退職するまで、彼はバッファロー大学の数学教授であり、スティーブン・シャヌエルと頻繁に共同作業を行いました。 1977年に彼は5年間の数学のマーティン教授に選出され、これにより1982年に「連続体物理学のカテゴリ」に関する会議が可能になりました。クリフォード・トゥルーズデルがその会議に参加したほか、連続体物理学の合理的な基礎と、ローヴェレのカテゴリカルダイナミクスプログラムの空間部分から発展した合成微分幾何学の他の研究者数名が参加しました。 ローヴェレは、不必要な解析的複雑さを排除した、物理的アイデアの厳密で柔軟な基盤を求める50年にわたる探求を続けました。彼はバッファロー大学の数学の名誉教授であり、哲学の名誉教授でもあった。^[3]

ローヴェアの研究の中心的な動機は、物理学、特に（古典的な）連続体力学（または少なくともその運動学的側面の一部）の優れた数学的（厳密な）基礎の探求である。ローヴェアはハミルトニアン、ラグランジアン、作用汎関数については言及していないようだ。^[5]

インタビュー（8ページ）で彼は次のように回想している。^[2]

私は 1955 年から 1960 年 1 月までインディアナ大学の学生でした。実験物理学は好きでしたが、理論コースの一部の不正確な推論は好ましくありませんでした。そこで、まず数学を勉強することにしました。トゥルーズデルは数学科にいましたが、工学物理学の知識が豊富でした。そこで私の教育を担当しました。... 1955 年 (およびそれ以降) に、連続体力学と運動理論の研究を進めるよう私に助言してくれました。1958 年の夏、私はジョージ ワプルズとともに位相力学を学び、できるだけ多くのことをカテゴリカルな用語で理解することを目標としました。... カテゴリは、連続体物理学の基礎を簡素化するために明らかに重要です。私は、カテゴリ理論を研究の中心に据えることにしました。

そして同じインタビュー（11ページ）で、彼は1960年代初頭についてこう語っています。

もちろん、圏論と物理学の基礎を明らかにすることを目的に、その分野の専門家から集合論と論理をさらに学ぶ必要性を強く感じました。

総合微分幾何学を導入したテキストとしてしばしば引用される初期のテキスト「運動法則のトポス」のタイトルは、古典力学におけるこれらのアイデアの起源と動機を明確に証明しています。^[6]

インタビューの中で、ウィリアム・F・ローヴェアは1967年にシカゴ大学で助教授を務めていた頃を振り返っている。彼は、マック・レーンと共同で力学の講義を担当したことで、幾何学における古い直観的手法の正当性について考えるようになり、最終的に「合成微分幾何学」という用語を生み出したと述べている。この講義はマッキーの著書『量子力学の数学的基礎』に基づいており、マッキーが圏論に与​​えた影響を示している。^[2]

さらにインタビューの中で、彼は総合微分幾何学の起源について論じ、力学に関する共同コースのアイデアはチャンドラの提案から生まれたと述べています。このコースはシリーズの最初のもので、マックレーンは後に1970年に海軍兵学校でハミルトン・ヤコビ方程式に関する講演を行い、それはアメリカ数学月刊誌に掲載されました。彼は、トゥルーズデルの教え、ノルの公理化、そして1958年に位相力学を分類するための彼自身の努力に触発され、ガブリエルから学んだグロタンディークのトポス理論を連続体力学の基礎を単純化するために適用し始めたと説明しています。

これらのアイデアと物理学との関係についてのより詳細なレビューは、1982年にローヴェレが主催した会議の議事録である書籍コレクション「連続体物理学のカテゴリー」の序文に記載されています。 ^[7]

1997年の講演「運動法則のトポス」で、ローヴェアは、無限小から世界を再構築することを目指した、微分積分、連続体力学、微分幾何学の長年にわたるプログラムについて述べている。彼はこのアイデアに対する懐疑論を認めながらも、過去300年間にわたるその実りある成果を強調している。彼は、最近の発展により、数学者はこのプログラムをより明確にし、連続体物理学を「単純な材料」から数学的に構築する方法に焦点を当てることができるようになったと考えている。^[6]

同じ講演で、ローヴェレは、関数解析と物理場理論に必要な本質的な空間は、適切なオブジェクト (T) を持つ任意の トポスで見つけることができると述べています。

2000 年の論文「トポス理論の発展に関するコメント」で、ローヴェアはグロタンディークのトポス概念を単純化して一般化する動機について論じている。彼は、自分の興味は物理学、特にトゥルーズデル、ノル、その他からヒントを得た連続体物理学の基礎研究に端を発していると説明する。彼は、この分野で使用されている数学的装置は強力であるが、現象にうまく適合しないことが多いと指摘している。ローヴェアは、問題と必要な公理をより直接的かつ明確に述べることができ、より単純でありながら厳密な説明につながる可能性があるのではないかと疑問を呈した。これらの疑問から、彼は 1967 年のシカゴでのカテゴリカル ダイナミクスに関する講義でトポス法を適用した。彼は、目標を達成するにはトポスの概念に関するさらなる研究が必要であることを認識した。1961 年から 1962 年にかけてバークレーの論理学者たちと過ごし、基礎の専門家の話を聴いたことも、彼のアプローチに影響を与えた。^[8]

Lawvere 氏は、MacLane 氏と Moerdijk 氏による最近のわかりやすいテキストを含む、簡略化されたトポス理論に関するいくつかの書籍と、合成微分幾何学に関する 3 冊の優れた書籍が、関数解析のさらなる研究と連続体物理学の発展のための強固な基盤を提供していると強調しています。

ウィリアム・ローヴェアはまた、哲学、特にゲオルク・ヘーゲルの『論理学』に触発されて、カテゴリー理論、カテゴリー論理、概念のトポス理論の形式化を提案した（詳細についてはそちらを参照）。

これには、例えば、客観的論理と主観的論理、抽象的な一般、具体的な一般、具体的な個別、対立物の統一、アウフヘービング、存在、生成、空間と量、凝集性、強意量と強意量など、そこに見られる概念の定義が含まれます。^[5]

ウィリアム・ローヴェアは、著書『数学の空間』（1992年）の「空間と量のカテゴリー」で、カテゴリー理論家による技術的進歩が、これからの数十年、そして世紀の弁証法的哲学に多大な利益をもたらすだろうという信念を表明している。彼は、これらの進歩によって、一般と特殊、客観と主観、存在と生成など、古くからある哲学的区別に正確な数学的モデルが提供されると主張している。彼は、数学者がこれらの哲学的問題に取り組むことで、数学やその他の科学をより身近で有用なものにする必要があると強調している。彼は、そのためには哲学者が数学を学び、数学者が哲学を学ぶ必要があると指摘している。^[9]

この取り組みの先駆者はヘルマン・グラスマンのAusdehnungslehreである。^[10]

カテゴリー理論家ウィリアム・ローヴェアは熱心なマルクス・レーニン主義者であり、かつて「マルクス・レーニン主義と毛沢東思想の数学と科学への応用」と題した講演を行った。

1971年のアンダース・コックの死亡記事によると: ^[11]

[ダルハウジー]大学当局は、ベトナム戦争に反対し、トルドー首相が公布したテロの危険を口実に市民の自由を停止する戦時措置法に反対する[ローヴェア]の政治活動を理由に、彼との契約更新を拒否した。

カナダ共産党（マルクス・レーニン主義）のサイトの死亡記事によると：^[12]

1,000人を超える学生がダル大学学生会館のロビーに集結し、ローヴェレ教授の恣意的な解雇に反対した。

彼は、自分の政治的な取り組みが数学の仕事と、時には驚くべき、予想外の形で関連していると見ていた。例えば、Quantifiers and Sheaves（1970）からの一節は次の通りである。^[13]

物事の主な矛盾が見つかった場合、科学的手順は、それをスローガンにまとめ、それを物事のさらなる発展と変革のためのイデオロギー的武器として絶えず使用することです。「集合論」でこれを行うには、数学における主な反対傾向のペアが随伴関数の形をとるという経験を考慮する必要があり、形而上学的「構築」の各段階で累乗集合 (P) を蓄積する (∪) プロセスによって残された数学的に無関係な痕跡 (∈) から解放されます。

論文の前半で、彼は論理と幾何学の間の「対立の統一」について論じている。彼は、矛盾、イデオロギー、対立についての彼の議論がマルクス主義の伝統に根ざしていることを明らかにし、参考文献で毛沢東の「矛盾論」（1937年）を参照している。さらに、彼は他の部分で、 さまざまな数学的概念をヘーゲルの弁証法やレーニンの認識論に結び付けている。

• 2010年にトスカーナ州議会より「ジュリオ・プレティ賞」を受賞。
• 2012年に彼はアメリカ数学会の会員になった。^[14]

• 1986 Categories in Continuum Physics (Buffalo, NY 1982)、Lawvere およびStephen H. Schanuel編( Lawvere による序文付き、pp 1–16)、Springer Lecture Notes in Mathematics 1174。ISBN 3-540-16096-5  ; 電子書籍
• 2003 (2002) Sets for Mathematics (Robert Rosebrugh との共著)。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-01060-8 
• 2009概念数学: カテゴリーへの入門(Stephen H. Schanuel との共著) 。ケンブリッジ大学出版局、第 2 版。ISBN 978-0521719162 ; 1997 pbk 版 

• カテゴリー理論
• トポス理論
• トポス理論の歴史
• 総合微分幾何学
• 数学の哲学
• 弁証法
• マルクス・レーニン主義
• ローヴェア・ティアニー位相

• 2007 年にポルトガルのコインブラ国際数学センターの紀要に掲載されたインタビュー (パート I 、パート II; 両方のパートを 1 つのファイルにまとめたもの)
• カテゴリーの理論と応用の再版。ローヴェアの 8 つの基本論文の再版が含まれ、その中には彼の博士論文と集合のカテゴリーの最初の完全な扱いが含まれています。これら 2 つは謄写版でのみ流通していました。
• ウィリアム F. ローヴェレ nLab エントリー
• GitHubでホストされている William F. Lawvere の全集のリポジトリ。
• 数学系譜プロジェクトのウィリアム・ローヴェア
• 写真