デカルト積

数学、特に集合論において、２つの集合AとBの直積（ A × Bと表記）は、 aがAに含まれ、bがBに含まれるすべての順序付きペア（a、b）の集合である。^[1]集合構築記法では、これは次のようになる。 ^{[2] [3]} $${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ and }}\ b\in B\}.}$$

行の集合と列の集合の直積をとることで表を作成できます。行×列の直積をとると、表のセルには（行の値、列の値）という形式の順序付きペアが含まれます。^[4]

同様に、 n個のセットの直積（ n重直積とも呼ばれる）を定義することもできます。これは、各要素がn個の組であるn次元配列で表すことができます。順序付きペアは、2 個の組またはカップルです。さらに一般的には、インデックス付きセット ファミリの直積を定義できます。

デカルト積は、解析幾何学の定式化によって生まれた概念であるルネ・デカルト^{[5]にちなんで名付けられ、この概念は}直積という形でさらに一般化されています。

直積の厳密な定義には、集合構築記法で定義域を指定する必要があります。この場合、定義域には直積自体が含まれていなければなりません。 集合 と の直積を定義するために、典型的なクラトフスキーのペアの定義を とすると、適切な定義域は、がべき集合 を表す集合 です。この場合、集合との直積は次のように定義されます^[6]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\times B=\{x\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))\mid \exists a\in A\ \exists b\in B:x=(a,b)\}.}$$

分かりやすい例として、標準的な 52 枚のカード デッキがあります。標準的なトランプのカードランク {A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2} は 13 要素のセットを形成します。カードのマーク{♠、♥、♦、♣ } は 4 要素のセットを形成します。これらのセットの直積は、52 個の順序付きペアで構成される 52 要素のセットを返します。これは、考えられる 52 枚のトランプすべてに対応します。

ランク×スーツは、{(A, ♠), (A,  ♥ ), (A,  ♦ ), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2,  ♥ ), (2,  ♦ ), (2, ♣)} という形式のセットを返します。

Suits × Ranksは、{(♠, A)、(♠, K)、(♠, Q)、(♠, J)、(♠, 10)、...、(♣, 6)、(♣, 5)、(♣, 4)、(♣, 3)、(♣, 2)} という形式のセットを返します。

これら2つの集合は異なっており、互いに素であるにも関わらず、それらの間には自然な一対一関係があり、その関係では(3, ♣)は(♣, 3)に対応し、以下同様に続きます。

主な歴史的例は、解析幾何学におけるデカルト平面である。幾何学的形状を数値的に表現し、形状の数値表現から数値情報を抽出するために、ルネ・デカルトは平面上の各点に、その座標と呼ばれる実数のペアを割り当てた。通常、そのようなペアの最初と2番目の要素は、それぞれx座標とy座標と呼ばれる（図を参照）。そのようなペアすべての集合（つまり、実数を表すデカルト積）は、平面上のすべての点の集合に割り当てられる。 ^[7]${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

集合論的原理による直積の正式な定義は、順序付きペアの定義から得られます。順序付きペアの最も一般的な定義である、クラトフスキーの定義は です。この定義では、は の要素であり、 はその集合のサブセットです。ここで、 はべき集合演算子を表します。したがって、 ZFCにおける任意の 2 つの集合の直積の存在は、ペアリング、和集合、べき集合、および指定の公理から得られます。関数は通常、関係の特殊なケースとして定義され、関係は通常、直積 のサブセットとして定義されるため、2 集合直積の定義は必然的に他のほとんどの定義よりも優先されます。 ${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

A、B、C、D を集合とします。

デカルト積A × Bは可換ではない。 ^[4] なぜなら、以下の条件のうち少なくとも1つが満たされない限り、順序付けられたペアは逆になるからである。 ^[8]$${\displaystyle A\times B\neq B\times A,}$$

• AはBに等しい、または
• AまたはB は空集合です。

例えば：

A = {1,2} ; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

厳密に言えば、直積は結合的ではありません（関係する集合の 1 つが空でない限り）。 たとえばA = {1}の場合、( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A )となります。 $${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$$

デカルト積は交差に関して次の性質を満たします(中央の図を参照)。 $${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$$

ほとんどの場合、交差を結合に置き換えると、上記の記述は当てはまりません(右端の図を参照)。 $${\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}$$

実際、次のようなものがあります: $${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}$$

集合の差については、次の恒等式も成り立ちます。 $${\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}$$

他の演算子との分配法則を示すいくつかの規則を次に示します（左端の図を参照）。^[8] ここで、はAの絶対補数を表します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A\times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle (A\times B)^{\complement }=\left(A^{\complement }\times B^{\complement }\right)\cup \left(A^{\complement }\times B\right)\cup \left(A\times B^{\complement }\right)\!,}$$${\displaystyle A^{\complement }}$

サブセットに関連するその他のプロパティは次のとおりです。

$${\displaystyle {\text{A\subseteq B{\text{の場合、A\times C\subseteq B\times C である}$$

$${\displaystyle {\text{A,B が両方とも \emptyset {\text{ の場合、A\times B\subseteq C\times D\!\iff \!A\subseteq C{\text{ かつ B\subseteq D です。}$$^[9]

集合の濃度は、集合の要素の数です。たとえば、2 つの集合A = {a, b}とB = {5, 6}を定義します。集合Aと集合B はどちらも 2 つの要素で構成されます。それらの直積はA × Bと書かれ、次の要素を持つ新しい集合になります。

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)} .

ここで、 Aの各要素はBの各要素とペアになっており、各ペアは出力セットの 1 つの要素を構成します。結果セットの各要素の値の数は、直積が取られるセットの数に等しく、この場合は 2 です。出力セットの濃度は、すべての入力セットの濃度の積に等しくなります。つまり、

| A × B | = | A | · | B | . ^[4]

この場合、| A × B | = 4

同様に、

| A × B × C | = | A | · | B | · | C |

等々。

集合A × Bが無限大となるのは、 AかBのどちらかが無限大であり、もう一方の集合が空集合ではない場合である。^[10]

直積は、n個の集合X ₁ , ..., X _n上のn項直積に一般化することができ、集合 $${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$$

n組の集合。組がネストされた順序付きペアとして定義されている場合、それは( X ₁ × ... × X _{n −1} ) × X _nと同一視できる。組が、 iにおける値を組のi番目の要素とする{1, 2, ..., n }上の関数として定義されている場合、直積X ₁ × ... × X _{n は}関数の集合である 。$${\displaystyle \{x:\{1,\ldots ,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\ |\ x(i)\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

集合Xの直交座標は直交積X ² = X × Xである。一例として、2次元平面R ² = R × Rが挙げられる。ここでR は実数集合である。^[1] R ²は、 xとyが実数であるすべての点( x、y )の集合である（直交座標系を参照）。

集合Xのn元直交座標のべき乗は、次のように定義される。 ${\displaystyle X^{n}}$$${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

この例はR ³ = R × R × Rであり、ここでもRは実数の集合であり、^[1]より一般的にはR ^nです。

集合Xのn元直交べき乗は、 n元集合からXへの関数の空間と同型である。特別な場合として、 Xの 0 元直交べき乗は、共役領域Xを持つ空関数に対応する単集合とすることができる。

任意の（無限の場合もある）インデックス付き集合族の直積を定義することは可能である。Iが任意のインデックス集合で、 がIによってインデックス付けされた集合族である場合、 の集合の直積は と定義される。 つまり、特定のインデックスiにおける関数の値がX _iの要素となるような、インデックス集合I上で定義されたすべての関数の集合である。X _iのそれぞれが空でなくても、そのような積はすべて空でないという命題と同等の選択公理が仮定されていない場合、直積は空になることがある。 は と表記されることもある。^[11]${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ \forall i\in I.\ f(i)\in X_{i}\right\},}$$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle {\mathsf {X}}}$${\displaystyle {}_{i\in I}X_{i}}$

I内の各jに対して、 によって定義される関数は j番目の投影マップと呼ばれます。 $${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},}$$${\displaystyle \pi _{j}(f)=f(j)}$

デカルト積は、すべての因数X _iが同じ集合Xであるデカルト積です。この場合、 はIからXまでの すべての関数の集合であり、多くの場合X ^Iと表記されます。この場合は、基数累乗の研究では重要です。重要な特別なケースは、インデックス集合が自然数 のときです。このデカルト積は、 i番目の項が対応する集合X _iにあるすべての無限シーケンスの集合です。たとえば、 の各要素は、 可算無限の実数成分を持つベクトル として視覚化できます。この集合は、多くの場合、または と表記されます。 $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\prod _{i\in I}X}$$${\displaystyle \mathbb {N} }$$${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots }$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

複数の集合を掛け合わせる場合（例：X ₁、X ₂、X ₃、…）、一部の著者^[12]は直積を単に× X _iと省略することを選択します。

f がXからAへの関数で、gがYからBへの関数である場合、それらの直積f × gはX × YからA × Bへの関数で あり、$${\displaystyle (f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}$$

これは、タプルや関数の無限コレクションに拡張できます。これは、セットとして考慮される関数の標準的な直積とは異なります。

を集合 、 とします。の円筒形はとの直積です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B\times A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

通常、はコンテキストのユニバースであると考えられ、省略されます。たとえば、 が自然数 のサブセットである場合、 の円筒は です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\times \mathbb {N} }$

デカルト積は伝統的に集合に適用されますが、圏論は数学的構造の積のより一般的な解釈を提供します。これは、ファイバー積の一般化である圏論のデカルト平方の概念とは異なりますが、関連しています。

指数は直積の右随伴です。したがって、直積（および最終オブジェクト）を持つカテゴリは、直積の閉じたカテゴリです。

グラフ理論において、 2 つのグラフGとHの直積 は、頂点集合が (通常の) 直積V ( G ) × V ( H )であるグラフG × Hであり、2 つの頂点( u、v )と( u ′、v ′)がG × Hで隣接しているための必要十分条件として、 u = u ′かつvがHでv ′に隣接している場合、またはv = v ′かつuがGでu ′に隣接している場合が挙げられます。グラフの直積は、圏論の意味での積ではありません。代わりに、圏積はグラフのテンソル積として知られています。

• べき乗集合の公理（直積の存在を証明する）
• 直接製品
• 空の商品
• 有限関係
• 結合 (SQL) § クロス結合
• 全順序集合の直積上の順序
• 外積
• 積（圏論）
• 製品トポロジー
• 製品タイプ

• ProvenMath の直積
• 「直積」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• デカルト積の求め方、教育ポータルアカデミー