複数カテゴリー

数学（特に圏論）において、多重圏とは、複数の項を持つ射を許容する圏の概念の一般化である。圏における射が関数に類似していると考えるならば、多重圏における射は多変数関数に類似していると言える。多重圏はオペラド、あるいは色付きオペラドとも呼ばれることがある。

（非対称な）マルチカテゴリは以下から構成される。

• オブジェクトの集合（多くの場合、適切なクラス）；
• 任意の有限列に対して${\displaystyle (X_{i})_{i\in [n]}}$オブジェクトの（${\displaystyle [n]=\{0,1,2,...,n\}}$）そしてすべてのオブジェクトYは、${\displaystyle (X_{i})_{i\in n}}$Yへ;そして
• すべてのオブジェクトXに対して、 XからXへの特別な恒等射 ( n = 1) が存在する。

さらに、合成演算もあります。シーケンスのシーケンスが与えられた場合${\displaystyle ((X_{ij})_{i\in n_{j}})_{j\in m}}$オブジェクトのシーケンス${\displaystyle (Y_{j})_{j\in m}}$オブジェクトの、そしてオブジェクトZ : もし

• 各${\displaystyle j\in m}$、f _jは からの射である${\displaystyle (X_{ij})_{i\in n_{j}}}$Y _jへ;そして
• gは射である${\displaystyle (Y_{j})_{j\in m}}$Zへ：

すると合成射が存在する${\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}}$から${\displaystyle (X_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}$Zへ。これは特定の公理を満たさなければならない。

• m = 1、Z = Y ₀、gがY ₀の恒等射である場合、g ( f ₀ ) = f ₀となります。
• 各${\displaystyle j\in m}$、n _j = 1、${\displaystyle X_{0j}=Y_{j}}$、そしてf _jはY _jの恒等射であるならば、${\displaystyle g(f_{j})_{j\in m}=g}$; そして
• 結合条件: 各${\displaystyle j\in m}$そして${\displaystyle i\in n_{j}}$、${\displaystyle e_{ij}}$はからへの射である${\displaystyle (W_{hij})_{h\in o_{ij}}}$に${\displaystyle X_{ij}}$、 それから${\displaystyle g\left(f_{j}(e_{ij})_{i\in n_{j}}\right)_{j\in m}=g(f_{j})_{j\in m}(e_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}}$は同一射である${\displaystyle (W_{hij})_{h\in o_{ij},i\in n_{j},j\in m}}$Zへ。

共圏（共多重圏）とは、オブジェクトの全順序集合Oと、 2つの関数を持つ多重矢印の集合Aからなるものである。

${\displaystyle \mathrm {head} :A\rightarrow O,}$

${\displaystyle \mathrm {ground} :A\rightarrow O^{\%},}$

ここで、O ^%はOの要素のすべての有限順序付きシーケンスの集合です。多重矢印fの双対像は次のように要約できます。

${\displaystyle f:\mathrm {head} (f)\Leftarrow \mathrm {ground} (f).}$

合成圏C は、合成演算の通常の性質を持つ多重積も持ちます。この演算子に関して多重積公理が成り立つ場合、Cは結合法則を満たすと言います。

対称的か非対称的かを問わず、任意の多重圏は、対象集合の全順序付けと合わせて、同等の共圏に変換することができる。

多重順序とは、以下の条件を満たすカテゴリのことである。

• 与えられた矢頭と矢底を持つ多重矢は最大で１つしか存在しない。
• 各オブジェクトxは単位多重矢印を持つ。
• マルチアローは、その地面に1つのエントリーがある場合にユニットとみなされます。

多重順序は部分順序（半順序集合）の一般化であり、トム・レインスターによって最初に（さりげなく）導入された。^{[ 1 ]}

対象が（小さな）集合である多重圏が存在し、集合X ₁、X ₂、 ... 、およびX _nから集合Yへの射はn項関数、すなわちデカルト積X ₁ × X ₂ × ... × X _nからYへの関数である。

対象がベクトル空間（例えば有理数体上の）である多重圏が存在し、ベクトル空間X ₁、X ₂、 ... 、およびX _nからベクトル空間Yへの射は多重線形演算子、すなわちテンソル積X ₁ ⊗ X ₂ ⊗ ... ⊗ X _nからYへの線形変換である。

より一般的には、任意のモノイド圏Cに対して、その対象がCの対象である多重圏が存在し、Cの対象X ₁、X ₂、 ... 、およびX _nからC の対象Yへの射は、X ₁、X ₂、 ... 、およびX _nのモノイド積からYへのC射である。

オペラドとは、一意な対象を一つ持つ多重圏のことである。退化した場合を除き、このような多重圏はモノイド圏から生じるものではない。

多重順序の例としては、点付き多重集合（ OEISのシーケンスA262671）、整数分割（ OEISのシーケンスA063834）、組み合わせ分離（ OEISのシーケンスA269134）などがある。任意の多重順序の三角形（または合成）は、（必ずしも結合的ではない）縮約のカテゴリと分解の共カテゴリの射である。多重最小分割の多重順序（OEISのシーケンスA255397）の縮約カテゴリは、既知の多重集合のカテゴリの中で最も単純なものである。^{[ 2 ]}

多重圏は、高次圏論に属するものと誤解されることが多い。なぜなら、多重圏の本来の応用は、高次圏が満たす演算子と恒等式が、多重圏の対象と多重射であるという観察に基づいているからである。n-圏の研究は、代数トポロジーへの応用や、高次元多様体のホモトピー理論を記述しようとする試みによって動機づけられた。

多重位数における三角形の縮約と分解の対応関係を利用することで、その接続代数と呼ばれる結合代数を構築することができる。すべての単位矢印上でゼロでない要素は合成逆元を持ち、多重位数のメビウス関数は、その接続代数におけるゼータ関数（定数1）の合成逆元として定義される。

多重カテゴリーは、ジム・ランベックが著書『演繹体系とカテゴリーII』（1969年）で初めてその名で提唱した。 ^{[ 3 ]}彼は（108ページ）で「多重カテゴリーはジャン・ベナブーとピエール・カルティエ によっても研究されてきた」と述べており、実際、レインスターは「カテゴリーと多重線形マップの両方が何であるかを知っている人なら誰でもその考えに至ったかもしれない」と述べている。^{[ 1 ]： 63}

• 擬テンソル圏

• ガーナー、リチャード (2008)。「擬似分配法則によるポリカテゴリー」。Advances in Mathematics。218 ( 3 ): 781–827。arXiv : math / 0606735。doi : 10.1016 / j.aim.2008.02.001。S2CID 17057235。