正確な関数

数学、特にホモロジー代数において、完全関数は短い完全列を保存する関数です。完全関数はオブジェクトの表現に直接適用できるため、代数計算に便利です。ホモロジー代数の研究の多くは、正確ではないが制御可能な方法で関数に対処するように設計されています。

PとQをアーベル圏とし、F : P → Qを共変 加法関手（特にF (0)=0）とする。Fが完全関手であるとは、

${\displaystyle 0\to A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0}$

がPの短完全列である場合、

${\displaystyle 0\to F(A)\ {\stackrel {F(f)}{\longrightarrow }}\ F(B)\ {\stackrel {F(g)}{\longrightarrow }}\ F(C)\to 0}$

はQの短い完全列です。(写像はしばしば省略され、暗示され、「0→ A → B → C →0 が完全であれば、0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 も完全である」と言われます。)

さらに、Fは

• 0→ A → B → C →0 が正確なときは常に 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) が正確であれば左正確。
• 0→ A → B → C →0 が正確なときは常にF ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 が正確であれば右正確である。
• 0→ A → B → C →0 が正確であるときはいつでも、 F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) が正確である場合、半正確です。これは、位相半正確関手の概念とは異なります。

G がPからQへの反変加法関手である場合、同様にG を次のように 定義する。

• 0→ A → B → C →0 が正確であれば常に0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 も正確であれば正確である。
• 0→ A → B → C →0 が正確なときは常に 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) が正確であれば左正確。
• 0→ A → B → C →0 が正確なときは常にG ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 が正確であれば右正確。
• 0→ A → B → C →0 が正確なときは常にG ( C )→ G ( B )→ G ( A ) が正確であれば半正確です。

ある程度の正確さを保つために、必ずしも 0 → A → B → C → 0という短い正確なシーケンス全体から始める必要はありません。次の定義は上記の定義と同等です。

• Fが正確であるのは、 A → B → Cが正確であればF ( A )→ F ( B )→ F ( C ) が正確になる場合のみである。
• Fが左正確であるためには、0→ A → B → C正確であれば 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) 正確である必要がある（つまり、「F はカーネルをカーネルに変換する」場合）。
• Fが右正確であるためには、A → B → C →0 正確であればF ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 正確である必要がある（つまり、「Fがコカーネルをコカーネルに変換する」場合）。
• Gが左正確であるためには、A → B → C →0 正確であれば 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) 正確となる（つまり、「G はコカーネルをカーネルに変換する」）必要がある。
• Gが右正確であるためには、0→ A → B → C正確であればG ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 正確である必要がある (つまり、「Gはカーネルをコカーネルに変換する」必要がある)。

アーベルカテゴリの 同値性または双対性はすべて正確です。

左完全関手の最も基本的な例はHom 関手です。Aがアーベル圏でA がAの対象である場合、F _A ( X ) = Hom _A ( A , X ) はAからアーベル群の圏Abへの共変左完全関手を定義します。^[1]関手F _Aが完全となるのは、Aが射影的である場合に限ります。^[2]関手G _A ( X ) = Hom _A ( X , A ) は反変左完全関手です。^[3]これはAが単射的である場合に限り完全です。^[4]

kが体で、 Vがk上のベクトル空間である場合、 V  * = Hom _k ( V , k )と書きます(これは一般に双対空間と呼ばれます)。これにより、 kベクトル空間のカテゴリからそれ自体への反変完全関数が得られます。 (正確性は上記からわかります。kはkの単射加群です。あるいは、kベクトル空間のすべての短完全列 はを分割し、任意の加法関数は分割列を分割列に変換すると主張することもできます。)

X が位相空間である場合、 X上のアーベル群のすべての層のアーベル圏を考えることができます。各層Fに大域切断群F ( X )を関連付ける共変関数は左完全です。

Rが環でTが右R加群の場合、 R上のテンソル積を使用して、すべての左R加群のアーベル圏からAbへの関手H _{T を}定義できます: H _T ( X ) = T ⊗ X。これは共変右完全関手です。言い換えると、左R加群の完全シーケンスA → B → C →0が与えられた場合、アーベル群のシーケンスT ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 は完全です。

関数H _{T が}完全であるための必要十分条件は、Tが平坦 である場合です。たとえば、は平坦- 加群です。したがって、を - 加群としてテンソル化することは、完全関数です。証明: iが- 加群の単射写像である場合、テンソル積間の対応する写像は単射であることを示すだけで十分です。が捩れ元または である場合に限り、 であることが示せます。与えられたテンソル積には、純粋テンソルのみが含まれます。したがって、純粋テンソルが核内にある場合、それはゼロであることを示すだけで十分です。 が核の要素であると仮定します。このとき、は捩れです。は単射なので、は捩れです。したがって、 です。したがって、も単射です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle i:M\to N}$${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle m\otimes q=0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle m\otimes q}$${\displaystyle m\otimes q}$${\displaystyle i(m)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m\otimes q=0}$${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$

一般に、Tが平坦でない場合、テンソル積は左正確ではありません。たとえば、- モジュールの短正確列を考えます。 をテンソル化すると、ねじれがなく平坦ではないため、正確ではなくなる列が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle 5\mathbf {Z} \hookrightarrow \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$

Aがアーベル圏でC が任意の小さな 圏である場合、 CからAへのすべての関手からなる関手圏 A ^Cを考えることができます。これはアーベルです。X がCの与えられたオブジェクトである場合、 Xでの関手を評価することでA ^CからAへの関手E _Xが得られます。この関手E _{X は}正確です。

テンソルは左正確ではないかもしれませんが、テンソルは右正確関数であることが示されます。

定理: A、B、C、P を、乗法単位元を持つ可換環RのR加群とする。R加群の 短完全列とする。すると、 ${\displaystyle A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0}$

${\displaystyle A\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}B\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}C\otimes _{R}P\to 0}$

はR加群の短完全列でもある。（Rは可換なので、この列はR加群の列であり、単なるアーベル群の列ではない）。ここで、

${\displaystyle f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p}$。

これには便利な帰結があります。IがRのイデアルであり、P が上記の通りである場合、 となります。 ${\displaystyle P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP}$

証明: は、fが包含関係、g が射影であるとき、R加群の完全列である。上記より、もR加群の短完全列であることがわかる。正確性により、となる。f は包含関係であるため。ここで、純粋テンソル上に定義された写像をR線形に拡張して得られるからのR加群準同型写像を考える。は を意味する。したがって、この写像の核にはゼロでない純粋テンソルを含めることはできない。 は純粋テンソルのみで構成される。 の場合 。したがって、この写像は単射である。明らかに上に存在する。したがって、である。同様に、 である。これは系を証明している。 ${\displaystyle I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0}$${\displaystyle I\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}R\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}R/I\otimes _{R}P\to 0}$${\displaystyle R/I\otimes _{R}P\cong (R\otimes _{R}P)/Image(f\otimes P)=(R\otimes _{R}P)/(I\otimes _{R}P)}$${\displaystyle R\otimes _{R}P\rightarrow P}$${\displaystyle r\otimes p\mapsto rp.rp=0}$${\displaystyle 0=rp\otimes 1=r\otimes p}$${\displaystyle R\otimes _{R}P}$${\displaystyle x_{i}\in R,\sum _{i}x_{i}(r_{i}\otimes p_{i})=\sum _{i}1\otimes (r_{i}x_{i}p_{i})=1\otimes (\sum _{i}r_{i}x_{i}p_{i})}$${\displaystyle R\otimes _{R}P\cong P}$${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$

別の応用として、 に対して であることを示します。ここで、n はm を割り切れる2 の最大の累乗です。特別な場合、m =12 を証明します。 ${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P}$${\displaystyle k=m/2^{n}}$

証明: 純粋なテンソル を考えます。また、 に対して です。これは であることを示します。 とすると、 A、B、C、P は通常の乗算​​動作によりR = Zモジュールとなり、主定理の条件を満たします。定理によって暗示される正確さと上記の注釈により、 が得られます 。最後の合同は であることを示す系の証明と同様の議論によって得られます。 ${\displaystyle (12z)\otimes (a/2^{k})\in (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P).(12z)\otimes (a/2^{k})=(3z)\otimes (a/2^{k-2})}$${\displaystyle (3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})}$${\displaystyle (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)}$${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2],A=12\mathbf {Z} ,B=\mathbf {Z} ,C=\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} }$${\displaystyle :\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P\cong (\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)\cong \mathbf {Z} P/3\mathbf {Z} P}$${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$

関数が正確であるのは、左正確かつ右正確である場合のみです。

共変 (必ずしも加法的ではない) 関数が左正確であるのは、有限の極限を極限に変換する場合のみです。共変関数が右正確であるのは、有限の余極限を余極限に変換する場合のみです。反変関数が左正確であるのは、有限の余極限を極限に変換する場合のみです。反変関数が右正確であるのは、有限の極限を余極限に変換する場合のみです。

左完全関数が完全でなくなる程度は、その右導関数で測定できます。右完全関数が完全でなくなる程度は、その左導関数で測定できます。

左完全関数と右完全関数は、主に次の事実のために広く普及しています。関数FがGの左随伴関数である場合、Fは右完全関数であり、Gは左完全関数です。

SGA4 の第 I 巻、第 1 節では、左 (右) 完全関数の概念が、アーベル関数だけでなく一般カテゴリに対して定義されています。定義は次のとおりです。

C を有限射影的（または入射的）極限を持つカテゴリとします。C から別のカテゴリ C′ への関数が有限射影的（または帰納的）極限と可換である場合、関数は左完全（または右完全）です。

この一般的な定義は抽象的ですが、有用な結果をもたらします。たとえば、セクション 1.8 では、 Grothendieck は、カテゴリCのいくつかの緩い条件下で、関数が正確なままである場合に限り、関数が pro-representable であることを証明しています。

Quillen の正確なカテゴリ間の正確な関数は、ここで説明するアーベル カテゴリ間の正確な関数を一般化します。

正則カテゴリ間の正則関手は、正確な関手と呼ばれることもあり、ここで説明する正確な関手を一般化します。