通常の枢機卿

集合論において、正規基数は、自身の共終性に等しい基数です 。より明確に言えば、これは、すべての無限部分集合が基数 を持つ場合のみ、 が正規基数であることを意味します。正規でない無限整列基数は、特異基数と呼ばれます。有限基数は、通常、正規とも特異とも呼ばれません。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle C\subseteq \kappa }$${\displaystyle \kappa}$

選択公理が存在する場合、任意の基数は整列可能であり、基数 に対して以下は同値です。 ${\displaystyle \kappa}$

1. ${\displaystyle \kappa}$通常の枢機卿です。
2. かつすべての の場合、 となります。${\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$${\displaystyle i}$${\displaystyle |I|\geq \kappa }$
3. であり、かつすべての に対してである場合、 となります。${\displaystyle S=\bigcup _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle |I|<\kappa }$${\displaystyle |S_{i}|<\kappa }$${\displaystyle i}$${\displaystyle |S|<\kappa }$
4. 未満の濃度の集合のカテゴリとそれらの間のすべての関数は 、未満の濃度の余極限に対して閉じています。${\displaystyle \operatorname {集合} _{<\kappa }}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$
5. ${\displaystyle \kappa}$通常の序数です（下記参照）

大まかに言えば、通常の基数は、少数のより小さな部分に分解できない基数であることを意味します。

選択公理が成り立たない状況では、状況はやや複雑になります。その場合、すべての基数が必ずしも整列集合の基数であるとは限りません。その場合、上記の同値性は整列可能な基数に対してのみ成立します。

無限順序数 は、集合として 未満の順序型を持つより小さい順序数の集合の極限ではない極限順序数である場合、正規順序数です。正規順序数は常に初期順序数ですが、一部の初期順序数は正規ではありません (例 ) (以下の例を参照)。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$

より小さい順序数は有限です。有限順序数の有限シーケンスは常に有限の最大値を持つため、より小さいタイプのシーケンスで要素が より小さい順序数の極限にはなれず、したがって正則順序数です。(アレフ-ヌル) は、最初の順序数 が正則であるため、正則基数です。有限個の有限基数の基数和自体が有限であるため、正則であると直接見ることもできます。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \omega +1}$はより大きい次の順序数です。これは極限順序数ではないので、特異です。は の次の極限順序数です。これは、、、、などのシーケンスの極限として記述できます。このシーケンスの順序タイプは であるため、 はより小さいタイプのシーケンスの極限であり、その要素は より小さい順序数であるため、特異です。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega +2}$${\displaystyle \omega +3}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$

${\displaystyle \aleph_{1}}$はより大きい次の基数なので、 より小さい基数は可算（有限または可算）です。選択公理を前提とすると、可算集合の可算集合の和はそれ自体が可算です。したがって、 は可算基数の可算集合の和として表すことはできず、 は正則です。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$は、、、、などの数列の次の基数です。その最初の順序数は、、、、などの数列の極限であり、順序型が であるため、は特異であり、 も同様です。選択公理を前提とすると、 は特異である最初の無限基数です（特異である最初の無限順序数は であり、特異である最初の無限極限順序数は です）。特異基数の存在を証明するには、置換公理が必要です。実際、ツェルメロ集合論での存在を証明できないことが、フランケルがこの公理を公理に導いた理由です。^[1]${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{2}}$${\displaystyle \aleph_{3}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{3}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

非可算（弱）極限基数で正則基数でもあるものは、（弱）到達不能基数と呼ばれます。これらが ZFC 内で存在することは証明できませんが、その存在が ZFC と矛盾することは知られていません。これらの存在は、追加の公理として扱われることがあります。到達不能基数は必然的にアレフ関数の不動点ですが、すべての不動点が正則であるとは限りません。たとえば、最初の不動点は- シーケンスの極限であり、したがって特異です。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \aleph_{0},\aleph_{\omega},\aleph_{\omega_{\omega}},...}$

選択公理が成り立つ場合、すべての後続基数は正則です。したがって、ほとんどのアレフ数の正則性または特異性は、基数が後続基数であるか極限基数であるかによって確認できます。一部の基数は、特定のアレフと等しいと証明できません。たとえば、連続体 の基数は、ZFC での値が非可算共終性の非可算基数である可能性があります (イーストンの定理を参照)。連続体仮説は、連続体の基数が に等しく、選択を前提とすると正則であると仮定します。 ${\displaystyle \aleph_{1}}$

選択公理がなければ、整列不可能な基数が存在することになります。^{[引用が必要] さらに、任意のコレクションの基数の合計を定義することはできません。[ 引用が必要]}したがって^、アレフ数だけが意味のある正則基数または特異基数と呼ぶことができます。^{[引用が必要]}さらに、後続のアレフは正則である必要はありません。たとえば、可算集合の可算集合の和は必ずしも可算ではありません。可算順序数の可算列の極限であること、および実数の集合が可算集合の可算和であることは、 ZFと一致しています。 ^{[引用が必要]}さらに、AC を含まない場合、より大きいアレフはすべて特異であることも ZF と一致しています( Moti Gitikによって証明された結果)。 ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

が極限順序数である場合、が正則であるためには、 の集合が のクラブとなる-基本埋め込みの臨界点である場合に限ります。^[2]${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle j}$${\displaystyle j(\alpha )=\kappa }$${\displaystyle \kappa}$

基数 に対して、が推移的かつ である場合、基本埋め込み は小さな埋め込みであるとする。基数が非可算かつ正則であるためには、任意の に対して小さな埋め込み が存在する必要がある。^{[3]系 2.2}${\displaystyle \kappa <\theta }$${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \alpha >\kappa }$${\displaystyle \theta >\alpha }$${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$

• アクセスできない枢機卿

• ハーバート・B・エンダートン『集合論の要素』、 ISBN 0-12-238440-7 
• ケネス・クネン『集合論、独立性証明入門』、 ISBN 0-444-85401-0