アクセスできない枢機卿

集合論 では、非可算 基数は、基数算術の通常の操作によってより小さい基数から得られない場合、到達不可能です。より正確には、基数κが強く到達不可能なのは、次の 3 つの条件を満たす場合です。非可算であること、κより小さいκ個未満の基数の和ではないこと、およびが成り立つこと。 ${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle 2^{\alpha }<\kappa }$

「到達不可能な基数」という用語は曖昧である。1950年頃までは「弱到達不可能な基数」を意味していたが、それ以降は通常「強く到達不可能な基数」を意味する。非可算基数が弱到達不可能なのは、それが正規の 弱極限基数である場合である。それが強極限基数である場合は、強く到達不可能、または単に到達不可能である（これは上記の定義に等しい）。著者の中には、弱到達不可能基数と強到達不可能基数が非可算である必要はないと考える者もいる（その場合、⁠ ⁠ は強く到達不可能である）。弱到達不可能基数はハウスドルフ（1908年）によって導入され、強く到達不可能基数はシェルピンスキ＆タルスキ（1930年）とツェルメロ（1930年）によって導入された。後者では、それらはグレンザレン（英語の「極限数」）とともに呼ばれた。^[1]${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

すべての強いアクセス不可能な基数は、弱アクセス不可能でもあります。同様に、すべての強い極限基数は、弱極限基数でもあります。一般化された連続体仮説が成り立つ場合、基数は、弱アクセス不可能である場合にのみ、強くアクセス不可能となります。

⁠ ⁠${\displaystyle \aleph_{0}}$ (アレフヌル) は、正則な強い極限基数です。選択公理を仮定すると、他のすべての無限基数は正則または (弱い) 極限です。ただし、両方を満たすことができる、つまり弱到達不可能な基数は、かなり大きい基数だけです。

順序数は、それが正規順序数であり、正規順序数の極限である場合に限り、弱アクセス不可能基数です。(0、1、ωは正規順序数ですが、正規順序数の極限ではありません。) 弱アクセス不可能であり、かつ強い極限基数でもある基数は、強くアクセス不可能です。

強く到達不可能な基数の存在の仮定は、グロタンディーク宇宙内で作業できるという仮定の形で適用されることもあり、この 2 つの考え方は密接に関連しています。

が基数であると仮定します。選択付きツェルメロ・フランケル集合論(ZFC) によれば、 が強くアクセス不可能な場合、フォン・ノイマン宇宙の 番目のレベルはZFC のモデルとなります。さらに、ZF によれば、 が弱アクセス不可能な場合、ゲーデル宇宙はZFC のモデルとなります。したがって、ZF と「弱アクセス不可能な基数が存在する」を合わせると、ZFC は一貫していることになります。したがって、アクセス不可能な基数は、大きな基数の一種です。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle V_{\kappa}}$${\displaystyle \kappa}$ ${\displaystyle L_{\kappa}}$${\displaystyle \kappa}$

がZFCの標準モデルであり、がにおけるアクセス不可能なものである場合には、 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle V}$

1. ${\displaystyle V_{\kappa}}$ツェルメロ-フランケル集合論の意図されたモデルの一つである。
2. ${\displaystyle Def(V_{\kappa })}$メンデルソン版のフォン・ノイマン・バーネイス・ゲーデル集合論のモデルの一つであり、全体的選択を排除し、サイズの制限を置換と通常の選​​択に置き換えたものである。
3. これはモース・ケリー集合論の意図されたモデルの一つである。${\displaystyle V_{\kappa +1}}$

ここで、はXの Δ ₀定義可能な部分集合の集合です(構成可能宇宙を参照)。最初の主張は弱めることができることを指摘しておく価値があります。が ZF の標準モデルになるためには、 がアクセス不可能である必要はなく、基数である必要さえありません(以下を参照)。 ${\displaystyle Def(X)}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle V}$_{${\displaystyle \kappa}$}

が ZFC のモデルであるとします。 は強いアクセス不能を含まないか、を における最小の強いアクセス不能とみなすと、は強いアクセス不能を含まない ZFC の標準モデルです。したがって、ZFC の一貫性は、ZFC の一貫性 +「強いアクセス不能は存在しない」を意味します。同様に、Vは弱いアクセス不能を含まないか、を の任意の標準サブモデルに対して弱アクセス不能である最小の順序数とみなすと、 は弱いアクセス不能を含まない ZFC の標準モデルです。したがって、ZFC の一貫性は、ZFC +「弱いアクセス不能は存在しない」を意味します。これは、ZFC がアクセス不能基数の存在を証明できないことを示し、ZFC はアクセス不能基数が存在しないことと一貫性があります。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{\kappa}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L_{\kappa}}$

ZFC がアクセス不可能な基数の存在と一貫しているかどうかという問題は、より微妙です。前の段落で概説した、ZFC の一貫性が ZFC +「アクセス不可能な基数は存在しない」の一貫性を意味するという証明は、ZFC で形式化できます。しかし、ZFC が一貫していると仮定すると、ZFC の一貫性が ZFC +「アクセス不可能な基数が存在する」の一貫性を意味するという証明は、ZFC で形式化できません。これは、ゲーデルの第 2 不完全性定理に従っており、ZFC +「アクセス不可能な基数が存在する」が一貫している場合、それ自体の一貫性を証明できないことを示しています。ZFC +「アクセス不可能な基数が存在する」は ZFC の一貫性を証明しているため、ZFC がそれ自身の一貫性が ZFC +「アクセス不可能な基数が存在する」の一貫性を意味することを証明した場合、この後者の理論はそれ自身の一貫性を証明できますが、それが一貫している場合は不可能です。

ZFC で形式化できないアクセス不可能な基数の存在については議論があります。Hrbáček & Jech (1999, p. 279) が提示したそのような議論の 1 つは、集合論の特定のモデルMのすべての順序数のクラスは、 Mを拡張し、 Mの要素のべき集合を保存するより大きな集合論モデルがある場合、それ自体がアクセス不可能な基数になるというものです。

集合論には、興味のある述語を満たす適切な基数クラスの存在を主張する重要な公理が多数あります。到達不可能性の場合には、対応する公理は、すべての基数μに対して、それより確実に大きい、μ < κである到達不可能な基数κ が存在するという主張です。したがって、この公理は、到達不可能な基数の無限の塔の存在を保証します（到達不可能な基数公理と呼ばれることもあります）。到達不可能な基数の存在の場合と同様に、到達不可能な基数公理は ZFC の公理からは証明できません。ZFC を前提とすると、到達不可能な基数公理はGrothendieckとVerdierの宇宙公理に相当します。つまり、すべての集合はGrothendieck 宇宙に含まれます。 ZFC の公理は、宇宙公理 (または同等のアクセス不可能な基数公理) とともに ZFCU で示されます ( ureelementsを持つ ZFC と混同しないでください)。この公理体系は、たとえば、すべてのカテゴリに適切なYoneda 埋め込み があることを証明するのに役立ちます。

これは、次のセクションの言語で ∞ が 1-アクセス不可能であると言っているのと同じなので、比較的弱い大基数公理です。ここで、∞ は V、つまりモデル内のすべての順序数のクラスに含まれない最小の順序数を表します。

「 α -アクセス不可能基数」という用語は曖昧で、異なる著者が不等な定義を使用しています。1 つの定義では、任意の順序数αに対して、κがアクセス不可能であり、すべての順序数β < αに対して、 κ未満のβ -アクセス不可能の集合がκで無限である(したがって、κは正則なので、基数κである) 場合、基数κはα -アクセス不可能と呼ばれます。この場合、 0 -アクセス不可能基数は、強くアクセス不可能な基数と同じです。別の可能な定義では、κ が正則であり、すべての順序数β < αに対して、 κ未満のβ -弱アクセス不可能の集合がκ で無限であるこの場合、0 弱アクセス不可能基数は通常の基数であり、1 弱アクセス不可能基数は弱アクセス不可能基数です。

α -アクセス不可能な基数は、より低いアクセス不可能な基数を数える関数の不動点として記述することもできます。たとえば、ψ ₀ ( λ )をλ^{番目のアクセス不可能な基数とすると、} ψ ₀の不動点は1 -アクセス不可能な基数です。次に、ψ _β ( λ ) をλ^番目の β -アクセス不可能な基数とすると、 ψ _βの不動点は ( β +1) -アクセス不可能な基数 (値ψ _{β +1} ( λ )) です。α が極限順序数の場合、 α -アクセス不可能は、 β < αのすべてのψ _βの不動点です(値ψ _α ( λ ) は、そのような基数のλ 番目の値^{です)。連続的に大きな基数を生成する関数の不動点を取るこのプロセスは、}大きな基数の研究ではよく見られます。

超近似性という用語は曖昧で、少なくとも 3 つの矛盾する意味があります。多くの著者は、これを強く近似できない基数の正規の極限 (1 近似できない) の意味で使用します。他の著者は、これをκがκ近似できない ( κ +1近似できない) という意味で使用します。また、時々、 Mahlo 基数の意味で使用されます。

α -超アクセス不可能という用語も曖昧です。著者によっては、これをα -アクセス不可能の意味で使用しています。他の著者は、任意の順序数αに対して、基数κがα -超アクセス不可能である場合に限り、κが超アクセス不可能であり、任意の順序数β < αに対して、 κ未満のβ -超アクセス不可能の集合がκにおいて無限であるという定義を使用しています。

超超到達不可能基数なども同様の方法で定義できますが、通常どおりこの用語は曖昧です。

「アクセス不能」の代わりに「弱アクセス不能」を使用すると、「弱αアクセス不能」、「弱超アクセス不能」、および「弱α超アクセス不能」に対して同様の定義を作成できます。

マホロカーディナルは、アクセス不可能、超アクセス不可能、超超アクセス不可能、... などです。

まず、基数κ がアクセス不可能なのは、 κ が次の反射特性を持つ場合のみです。つまり、すべての部分集合 に対して、が の基本部分構造であるようなものが存在するということです。(実際、そのようなαの集合はκにおいて無制限に閉じています。) したがって、はすべてのn ≥ 0に対して記述不可能です。一方、となる順序数は必ずしも存在するわけではなく、これが成り立つ場合、 は番目のアクセス不可能な基数でなければなりません。^[2]${\displaystyle U\subset V_{\kappa }}$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,U)}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$${\displaystyle \alpha >\kappa }$${\displaystyle V_{\kappa}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

これは、やや弱い反射特性を持つ ZF で証明可能であり、その場合、部分構造は有限の式セットに関して「基本的」であることのみが要求されます。最終的に、この弱化の理由は、モデル理論的充足関係⊧ は定義できるものの、タルスキの定理により、意味的真理自体 (つまり ) は定義できないためです。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$${\displaystyle \vダッシュ_{V}}$

第二に、ZFC の下では、 が2 次ZFCモデルである場合に限り、 がアクセス不可能であることを述べるZermelo のカテゴリ定理が示されます。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle (V_{\kappa },\in )}$

この場合、上記の反射特性により、 (一次) ZFCの標準モデルとなるようなものが存在します。したがって、アクセス不可能な基数の存在は、ZFC の推移モデルの存在よりも強力な仮説です。 ${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle (V_{\alpha },\in )}$

の到達不可能性は上の性質である。^[3]一方、基数が（を含むのあるモデルにおいて）到達不可能であることは である。^[4]${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$${\displaystyle V_{\kappa}}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \mathrm {ZF} }$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \Pi_{1}}$

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