プロファンクター

数学の一分野である圏論において、代数関数は関係と双加群の一般化である。

カテゴリーからカテゴリーへの関数子（フランス学派では分配器、シドニー学派ではモジュールとも呼ばれる）は、 ${\displaystyle \,\phi }$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$、

は関数として定義される

${\displaystyle \phi :D^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set} }$

ここで、 はの反対のカテゴリを表し、 は集合 のカテゴリを表します。と元における射がそれぞれ与えられた場合、 は作用を表すと書きます。 ${\displaystyle D^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {集合} }$${\displaystyle f:d\to d',g:c\to c'}$${\displaystyle D,C}$${\displaystyle x\in \phi (d',c)}$${\displaystyle xf\in \phi (d,c),gx\in \phi (d',c')}$

の直積閉包、小圏の圏を用いると、前関数子は関数子として見ることができる。 ${\displaystyle \mathbf {猫} }$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle {\hat {\phi }}:C\to {\hat {D}}}$

ここで は上の前層のカテゴリを表します。 ${\displaystyle {\hat {D}}}$${\displaystyle \mathrm {セット} ^{D^{\mathrm {op} }}}$${\displaystyle D}$

からへの対応は関数子です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D\nrightarrow C}$

プロファンクタの同等の定義は、そのオブジェクトが のオブジェクトと のオブジェクトの互いに素な和集合であり、その射が の射と の射、さらに のオブジェクトから のオブジェクトへの 0 個以上の追加の射であるカテゴリです。上記の正式な定義の集合は、 のオブジェクトと のオブジェクト間のホム集合です。(これらは、対応する射が異型写像 と呼ばれることがあるため、ヘテロ集合とも呼ばれます。) 前の定義は、ホムファンクタを に制限することで復元できます。 ${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \phi ^{\text{op}}\times \phi \to \mathbf {集合} }$${\displaystyle D^{\text{op}}\times C}$

これにより、プロファンクタは のオブジェクトと のオブジェクト間の関係として考えることができ、関係の各メンバーは射の集合に関連付けられていることも明らかになります。関数が関係の特殊なケースであるのと同じように、ファンクタはプロファンクタの特殊なケースです。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$

2つのプロファンクタの 合成${\displaystyle \psi \phi }$

${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$そして${\displaystyle \psi :D\nrightarrow E}$

は次のように与えられる。

${\displaystyle \psi \phi =\mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})\circ {\hat {\phi }}}$

ここで、 は、の米田関数に沿った関数の左カン拡大です(のすべてのオブジェクトに関数が関連付けられます)。 ${\displaystyle \mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})}$${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ ${\displaystyle Y_{D}:D\to {\hat {D}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle d}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D(-,d):D^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Set} }$

それは次のことが証明できる

${\displaystyle (\psi \phi )(e,c)=\left(\coprod _{d\in D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)\right){\Bigg }}\sim }$

は、次のような 射が存在する場合、最小の同値関係である。${\displaystyle \sim}$${\displaystyle (y',x')\sim (y,x)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle y'=vy\in \psi (e,d')}$ そして 。${\displaystyle x'v=x\in \phi (d,c)}$

同様に、プロファンクタ合成は共役を使って記述できる。

${\displaystyle (\psi \phi )(e,c)=\int ^{d\colon D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)}$

プロファンクタの合成は同型性に関してのみ結合的である（積はSetでは厳密に結合的では ないため）。したがって、期待できる最善のことは、

• 0セルは小さなカテゴリです。
• 2つの小さなカテゴリ間の1セルは、それらのカテゴリ間の関数子です。
• 2 つのプロファンクタ間の 2 セルは、それらのプロファンクタ間の自然な変換です。

関数は、Yoneda 関数と後合成することで 前関数として見ることができます。${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle \phi _{F}:C\nrightarrow D}$

${\displaystyle \phi _{F}=Y_{D}\circ F}$。

このような profunctor には右随伴関数があることが示されます。さらに、これは特徴付けです。profunctor が右随伴関数を持つのは、が のCauchy 完備化を介して因数分解される場合、つまり となる関数が存在する場合のみです。 ${\displaystyle \phi _{F}}$${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$${\displaystyle {\hat {\phi }}:C\to {\hat {D}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle {\hat {\phi }}=Y_{D}\circ F}$

• アナファンクター