コードデンシティモナド

数学、特に圏論において、コード密度モナドは、モナドを幅広いクラスの関数に関連付ける基本的な構成です。

関数のコードンスティーモナドは、この Kan 拡張が存在する場合、それ自体に沿ったの右 Kan 拡張として定義されます。したがって、定義により、これは特に関数です 。 上のモナド構造は、右 Kan 拡張の 普遍的性質から生じます。${\displaystyle G:D\to C}$${\displaystyle G}$$${\displaystyle T^{G}:C\to C.}$$${\displaystyle T^{G}}$

が小さなカテゴリ（射の適切なクラスではなく、集合のみを持つ）であり、すべての（小さな、つまり集合インデックス付きの）極限を持つ場合、コードデンシティモナドが存在します。また、が左随伴を持つ場合にも存在します。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$

端に関する右 Kan 拡大を計算する一般公式により、コードデンシティ モナドは次の公式で与えられます。 ここで、 は指定されたオブジェクト間の射の集合を表し、積分 は端を表します。したがって、コードデンシティ モナドは、の像にあるオブジェクトへの写像を考え、そのような射の集合から への写像を、すべての可能な に対して互換性があることに等しいことになります。したがって、Avery が指摘しているように、^{[1]コードデンシティ モナドは、}積分および二重双対化の概念といくつかの類似点を共有しています。 $${\displaystyle T^{G}(c)=\int _{d\in D}G(d)^{C(c,G(d))},}$$${\displaystyle C(c,G(d))}$${\displaystyle C}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle G(d),}$${\displaystyle d.}$

関数が左随伴を許容する場合、コード密度モナドは、標準の単位写像と乗算写像とともに合成によって与えられます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle F,}$${\displaystyle G\circ F,}$

いくつかの興味深いケースでは、関数は左随伴を許容しない完全なサブカテゴリの包含です。たとえば、FinSetをSetに包含するコデンシティ モナドは、任意のセットに超フィルターの集合を関連付ける超フィルター モナドです。これは Kennison と Gildenhuys ^{[2]によって証明されましたが、「コデンシティ」という用語は使用されていませんでした。この定式化では、このステートメントは}Leinster ^[3]によってレビューされています。${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M.}$

関連する例はレンスターによって議論されている：^[4]有限次元 ベクトル空間（固定体 上）をすべてのベクトル空間に含める共密度モナドは、ベクトル空間をその二重双対に送ることで与えられる二重双対化モナドである。${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V^{**}=\operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (V,k),k).}$$

したがって、この例では、上記の最終式は、（上記の表記法では）1 つのオブジェクト、つまり 1 次元ベクトル空間のみを考慮するように簡略化されます。Adámekと Sousa ^[5]は、多くの状況で、 有限に提示されたオブジェクト（コンパクト オブジェクト とも呼ばれる）の包含のコデンシティ モナドが、十分に優れたコジェネレータ オブジェクトに関する二重双対化モナドであることを示しています。これにより、有限セットをセットに含めること（コジェネレータは 2 つの要素の集合）と、有限次元ベクトル空間をベクトル空間に含めること（コジェネレータは基底体）の両方が回復されます。 ${\displaystyle d,}$${\displaystyle D.}$$${\displaystyle D:=C^{fp}\subseteq C}$$

シポシュは、有限集合（離散位相空間とみなされる）を位相空間に含めるコデンシティモナド上の代数は、ストーン空間と同値であることを示した。^{[6]エイブリーは、}ジリーモナドが、凸ベクトル空間の特定のカテゴリと可測空間との間の自然な忘却関手のコデンシティモナドとして生じる ことを示した。^[1]

ディ・リベルティ^[7]は、コデンシティモナドがイスベル双対性と密接に関連していることを示している。与えられた小さなカテゴリに対して、イスベル双対性は 、上の前層 カテゴリ（つまり、集合の反対カテゴリからの関数）と上の共前層カテゴリの反対カテゴリとの間の随伴性を指す。この随伴性によって誘導されるモナドは 、ヨネダ埋め込み のコデンシティモナドであることが示される。逆に、ココンプリートカテゴリの 完全な小さな稠密なサブカテゴリのコデンシティモナドは、イスベル双対性によって誘導されることが示される。^[8]${\displaystyle C,}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}:Set^{C^{op}}\rightleftarrows (Set^{C})^{op}:Spec}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C.}$$${\displaystyle Spec\circ {\mathcal {O}}}$$ $${\displaystyle y:C\to Set^{C^{op}}.}$$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C}$

• モナド関数 – 代数と数学における演算Pages displaying short descriptions of redirect targets

脚注