高等圏理論

数学において、高次圏理論は、高次の圏理論の一部であり、いくつかの等式が明示的な矢印に置き換えられ、それらの等式の背後にある構造を明示的に研究できることを意味します。高次圏理論は、代数位相幾何学（特にホモトピー理論）でよく適用され、基本的な弱∞群などの空間の代数的不変量を研究します。

高次圏理論では、（ ∞-圏）などの高次圏構造の概念により、ホモトピー理論をより堅牢に扱うことができ、同じ基本群を持ちながら高次ホモトピー群が異なる2つの位相空間を区別するなど、より細かいホモトピーの区別が可能になります。このアプローチは、アイレンバーグ・マクレーン空間^[1]などの複雑な位相的特徴を持つ空間を扱うときに特に有用です。

通常のカテゴリにはオブジェクトと射があり、これらは高次カテゴリ理論の文脈では1-射と呼ばれます。2-カテゴリは、 1-射間の2-射も含めることでこれを一般化します。これを( n  − 1)-射間のn-射まで続けると、 n-カテゴリが得られます。

Catとして知られるカテゴリ、つまり小さなカテゴリと関数のカテゴリが、実際には2 射として自然変換を持つ2 カテゴリであるのと同様に、 (小さな) nカテゴリのカテゴリn - Catは、実際には ( n  + 1) カテゴリです。

nカテゴリは、n上の帰納法によって次のように定義されます。

• 0カテゴリは集合であり、
• ( n + 1)-カテゴリは、カテゴリn - Cat上で強化された カテゴリです。

したがって、1 カテゴリは単なる (局所的に小さい) カテゴリです。

Setのモノイド構造は、直積をテンソル、シングルトンを単位として与えられる構造です。実際、有限積を持つカテゴリには、モノイド構造を与えることができます。カテゴリCに有限積がある場合、 Cが強化されたカテゴリのカテゴリにも有限積があるため、 n - Catの再帰的構成はうまく機能します。

この概念は、例えばホモトピー理論においては「弱い」構造が高次のカテゴリの形で生じるなど、いくつかの目的には厳しすぎるが、^{[2]厳密な立方高次ホモトピー群もまた、}ホモロジー理論とホモトピー理論の境界における代数的位相幾何学に新たな基礎を与えるものとして生じている。以下の本で参照されている 記事「非アーベル代数的位相幾何学」を参照のこと。

弱いnカテゴリーでは、結合条件および恒等条件は厳密ではなくなり (つまり、等式では与えられない)、次のレベルの同型まで満たされます。位相幾何学における例としては、パスの合成が挙げられます。この場合、恒等条件および結合条件は再パラメータ化まで、したがってこの2 カテゴリーの2 同型であるホモトピーまでのみ成立します。これらのn同型はホム集合間で適切に動作する必要があり、これを表現することが弱いnカテゴリーの定義における困難さです。弱い2 カテゴリーは双カテゴリーとも呼ばれ、明示的に定義された最初のカテゴリーです。これらの特殊性は、1 つのオブジェクトを持つ双カテゴリーがまさにモノイド カテゴリーであるため、双カテゴリーは「多くのオブジェクトを持つモノイド カテゴリー」であると言えます。弱い3 カテゴリー (トリカテゴリーとも呼ばれる) と高レベルの一般化を明示的に定義することはますます困難になっています。いくつかの定義が与えられており、それらがいつ同等であるか、どのような意味で同等であるかを伝えることが、カテゴリー理論における新しい研究対象となっています。

弱いカン複体、または準カテゴリは、カン条件の弱いバージョンを満たす単体集合です。アンドレ・ジョヤルは、これらが高次カテゴリ理論の優れた基礎となることを示しました。最近、2009 年に、この理論はジェイコブ・ルリーによってさらに体系化され、単に無限カテゴリと呼ばれていますが、後者の用語は、任意のkに対する (無限、 k ) カテゴリのすべてのモデルの総称でもあります。

単体的に強化されたカテゴリ、または単体カテゴリは、単体集合上で強化されたカテゴリです。ただし、 (無限大、1)カテゴリのモデルとして見ると、多くのカテゴリの概念(たとえば、限界)は、強化されたカテゴリの意味での対応する概念と一致しません。位相的に強化されたカテゴリなどの他の強化モデルについても同様です。

位相的に豊富なカテゴリ（単に位相カテゴリと呼ばれることもある）は、位相空間の便利なカテゴリ、例えばコンパクトに生成された ハウスドルフ空間のカテゴリ上で豊富なカテゴリである。

これらは1998年にヒルショウィッツとシンプソンによって導入された高次カテゴリーのモデルであり、^[3] 1974年のグレアム・シーガルの結果に部分的に触発されています。

• 高次元代数
• 一般的な抽象的なナンセンス
• 分類
• 一貫性（ホモトピー理論）

• Baez, John C. ; Dolan, James (1998). 「分類」. arXiv : math/9802029 .
• レンスター、トム (2004)。高等オペラド、高等カテゴリー。ケンブリッジ大学出版局。arXiv : math.CT / 0305049。ISBN 0-521-53215-9。
• シンプソン、カルロス(2010)。「高次カテゴリのホモトピー理論」。arXiv : 1001.4071 [ math.CT]。本の草稿。ハイパーリンク付きの代替 PDF)

• ルリー、ジェイコブ（2009）。高等トポス理論。プリンストン大学出版局。arXiv ： math.CT / 0608040。ISBN 978-0-691-14048-3。PDFとして。
• nLab、高次圏理論と物理学、数学、哲学への応用に関する集合的かつオープンなウィキノートブックプロジェクト
• Joyal の Catlab は、カテゴリカル数学と高カテゴリカル数学の洗練された解説と証明に特化したウィキです。
• ブラウン、ロナルド、ヒギンズ、フィリップ J.、シベラ、ラファエル (2011)。非アーベル代数的位相幾何学: フィルター空間、交差複体、立方ホモトピー群。数学論文集。第 15 巻。ヨーロッパ数学協会。ISBN 978-3-03719-083-8。

ウィキメディア・コモンズには、高次圏理論に関連するメディアがあります。

• Baez, John (1996 年 2 月 24 日)。「第 73 週: n カテゴリーの物語」。
• n-Category Cafe — 高次圏理論に特化したグループブログ。
• レンスター、トム (2010 年 3 月 8 日)。「高次カテゴリー理論の観点」