モノイド（圏論）

圏論（数学の一分野）において、モノイド（またはモノイドオブジェクト、内部モノイド、または代数）${\displaystyle (M,\mu ,\eta )}$モノイド圏において${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$オブジェクトです${\displaystyle M}$2つの射とともに

• ${\displaystyle \mu \colon M\otimes M\to M}$乗算と呼ばれる、
• ${\displaystyle \eta \colon I\to M}$ユニットと呼ばれる、

五角形の図

そしてユニター図

通勤。上記の表記では、${\displaystyle 1}$は恒等射である${\displaystyle M}$、${\displaystyle I}$は単位要素であり、${\displaystyle \alpha ,\lambda }$そして${\displaystyle \rho }$はそれぞれ、モノイド圏の結合子、左ユニター、右ユニターである。$\displaystyle {\mathcal {C}}}$。

双対的に、モノイド圏におけるコモノイド$\displaystyle {\mathcal {C}}}$双対圏のモノイドである${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$。

モノイド圏が$\displaystyle {\mathcal {C}}}$編み込みがあります${\displaystyle \gamma }$モノイド${\displaystyle M}$で$\displaystyle {\mathcal {C}}}$可換であるのは${\displaystyle \mu \circ \gamma =\mu }$。

• 集合の圏Setにおけるモノイド対象（デカルト積によって誘導されるモノイド構造を持つ）は、通常の意味でのモノイドである。この文脈では、次のようになる。
  • 単位オブジェクト${\displaystyle I}$モノイド圏の は、任意の一点集合とみなすことができる。
  • 乗算${\displaystyle \mu }$これは、通常の意味でのモノイド演算に対応する。
  • ユニット${\displaystyle \eta }$は、単一のメンバーをマッピングする関数に対応します。${\displaystyle I}$モノイドの単位元へ。
• 位相空間の圏Top (積位相によって誘導されるモノイド構造を持つ)におけるモノイド対象は、位相モノイドである。
• モノイドの圏（モノイドの直積を含む）におけるモノイド対象は、可換モノイドに他ならない。これは、エックマン・ヒルトンの議論から容易に導かれる。
• 完全結合半束の圏Sup (デカルト積によって誘導されるモノイド構造を持つ)におけるモノイド対象は単位的クォンタールである。
• アーベル群の圏( Ab , ⊗ _Z , Z )におけるモノイド対象は環である。
• 可換環Rの場合、モノイドオブジェクトは
  • ( R - Mod , ⊗ _R , R )は、R上の加群の圏であり、R代数である。
  • 次数付きモジュールのカテゴリは次数付きR代数である。
  • R加群の鎖複体の圏は微分次数付き代数である。
• K-ベクトル空間の圏（テンソル積を持つ）であるK - Vectにおけるモノイド対象は単位的結合K-代数であり、コモノイド対象はK-余代数である。
• 任意の圏Cに対して、その自己関手の圏[ C , C ]は、合成関手と恒等関手I _Cによって誘導されるモノイド構造を持つ。 [ C , C ]内のモノイド対象は、C上のモナドである。
• 終端対象と有限積を持つ任意の圏では、すべての対象は対角射Δ _X  : X → X × Xによってコモノイド対象になります。同様に、始対象と有限余積を持つ圏では、すべての対象はid _X ⊔ id _X  : X ⊔ X → Xによってモノイド対象になります。

モノイド圏Cにおける2 つのモノイド( M , μ , η )と( M ′, μ ′, η ′)が与えられたとき、射f : M → M ′は、次の場合にモノイドの射となります。 

• f ∘ μ = μ ′ ∘ ( f ⊗ f )、
• f ∘ η = η ′。

つまり、以下の図は

、

通勤。

Cにおけるモノイドとそのモノイド射の圏はMon _Cと表記される。^{[ 1 ]}

• Act-S、集合に作用するモノイドの圏

• キルプ、マティ。クナウアー、ウルリッヒ。ミハロフ、アレクサンダー V. (2000)。モノイド、アクト、カテゴリー。ウォルター・デ・グルイテル。ISBN 3-11-015248-7。