ふるい（圏論）

数学の一分野である圏論において、ふるいは共通の共域を持つ矢印を選択する方法である。これは位相幾何学における固定された開集合の開部分集合の集合のカテゴリカル類似物である。グロタンディーク位相幾何学では、特定のふるいが位相幾何学における開被覆のカテゴリカル類似物となる。ふるいは、グロタンディーク位相幾何学の概念を再定式化するためにジロー (1964) によって導入された。

C をカテゴリとし、c をCの対象とする。c上のふるい はHom(−, c )のサブファンクタである。つまり、 Cのすべての対象c ′に対して、S ( c ′) ⊆ Hom( c ′, c ) であり、すべての矢印f : c ″→ c ′ に対して、S ( f ) は Hom( f , c )の制限、つまりfによるS ( c ′)への引き戻しである(ファイバー積の意味でなく、前合成の意味で) 。次のセクションを参照。 ${\displaystyle S\colon C^{\rm {op}}\to {\rm {Set}}}$

言い換えれば、ふるいは、共通の共域を持つ矢印の集合Sであり、「 g : c ′→ cがS内の矢印であり、f : c ″→ c ′ がC内の他の任意の矢印である場合、gf はS内に存在する」という条件を満たします。したがって、ふるいは、環論の右イデアルや順序理論のフィルターに似ています。

ふるいに対する最も一般的な操作は引き戻しです。矢印f : c ′→ cによってc上のふるいS を引き戻すと、 c ′上の新しいふるいf ^* Sが得られます。この新しいふるいは、 c ′ を通るSのすべての矢印で構成されます。

f ^* Sを定義する同等の方法はいくつかあります。最も単純な方法は次のとおりです。

Cの任意のオブジェクトdに対して、f ^* S ( d ) = { g : d → c ′ | fg ∈ S ( d )}

より抽象的な表現は次のようになります。

f ^* Sは、自然な射影S × _{Hom(−, c )} Hom(−, c ′) → Hom (−, c ′)によるファイバー積 S × _{Hom(−, c ) Hom(−,} c ′)の像である。

ここで、写像Hom(−, c ′)→Hom(−, c )はHom(−, f )、つまりfによる前進である。

後者の定式化は、 Hom(−, c )への自然写像の下でS × _{Hom(−, c )} Hom(−, c ′) の像もとれることを示唆している。これは、 fとの合成の下でのf ^* Sの像となる。 Cの各オブジェクトdについて、このふるいはすべての矢印fgから構成され、ここでg : d → c ′ はf ^* S ( d )の矢印である。言い換えれば、これはf を介して因数分解できるSのすべての矢印から構成される。

c上の空ふるい、つまり ∅( d ) が常に空集合となるふるいを ∅ _cで表すと、任意のf : c ′→ cに対して、f ^* ∅ _cは ∅ _{c ′}です。さらに、f ^* Hom(−, c ) = Hom(−, c ′) です。

SとS ′ をc上のふるいとします。Cのすべてのオブジェクトc ′に対して、S ( c ′) ⊆ S ′( c ′) であるとき、 S ⊆ S ′ といいます。Cのすべてのオブジェクトdに対して、 ( S ∪ S ′)( d ) をS ( d ) ∪ S ′( d ) と定義し、 ( S ∩ S ′)( d ) をS ( d ) ∩ S ′( d ) と定義します。この定義は、無限の和集合や積集合にも拡張できます。

Sieve _C ( c ) (または略してSieve( c ))をc上のすべての篩の集合と定義すると、Sieve( c )は⊆の下で部分的に順序付けられます。定義から、 c上の任意の篩族の和集合または積集合はc上の篩であることが簡単にわかります。したがって、Sieve( c )は完全な格子です。

グロタンディーク位相は、特定の特性を持つふるいの集合です。これらのふるいは、被覆ふるいと呼ばれます。オブジェクトc上のすべての被覆ふるいの集合は、Sieve( c ) のサブセットJ ( c ) です。J ( c ) は、定義で要求される特性に加えて、いくつかの特性も満たします。

• SとS ′ がc上のふるいであり、S ⊆ S ′ かつS ∈ J ( c ) である場合、S ′ ∈ J ( c ) です。
• J ( c )の要素の有限交差はJ ( c )に含まれる。

その結果、J ( c )も分配格子であり、Sieve( c )において共終的である。

• マイケル・アーティン;アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン＝ルイ・ヴェルディエ編（1972年）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 .数学の講義ノート（フランス語）。 Vol. 269.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 xix+525。土井：10.1007/BFb0081551。ISBN 978-3-540-05896-0。
• ジロー、ジャン(1964)、「分析状況」、ブルバキセミネール、1962/63 年。ファスク。 3、パリ: Secretariat mathématique、MR  0193122
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter 編 (2004)。圏論的基礎。順序、位相、代数、層理論に関する特別なトピック。数学とその応用百科事典。第 97 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83414-7.ZBL1034.18001  。​