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数学、特に圏論において、加法圏はすべての有限副積を許容する前加法圏 Cである。

意味

加法カテゴリには、同等の定義が 2 つあります。1 つは追加の構造を備えたカテゴリであり、もう 1 つは追加の構造を備えていないが、そのオブジェクトと射が特定の方程式を満たすカテゴリです。

前加法カテゴリ経由

カテゴリCが前加法的であるとは、そのホム集合がすべてアーベル群であり、射の合成が双線型である場合です。言い換えると、C はアーベル群のモノイドカテゴリ上で豊富です。

前加法的なカテゴリでは、すべての有限積は必然的に余積、つまり二重積であり、逆にすべての有限余積は必然的に積です (これは定義の結果であり、定義の一部ではありません)。空の積は最終オブジェクトであり、空の図の場合の空の積は初期オブジェクトです。どちらも極限であるため、有限積でも余積でもありません。

したがって、加法カテゴリは、すべての有限積を許容し、ヌルオブジェクトを持つ前加法カテゴリ、またはすべての有限共積を許容し、ヌルオブジェクトを持つ前加法カテゴリとして同等に記述されます。

半加法カテゴリを介して

別の定義を示します。

半加法 カテゴリを、ゼロオブジェクトとすべてのバイナリ副積を許容するカテゴリ（前加法カテゴリではないことに注意）として定義します。すると、Hom 集合が自然にアーベルモノイド構造を許容するという注目すべき定理が成立します。この事実の証明を次に示します。

加法カテゴリは、すべての射が加法逆を持つ半加法カテゴリとして定義できます。これにより、Hom 集合は、単なるアーベルモノイド構造ではなく、アーベル群構造になります。

一般化

より一般的には、可換環 $R$ の加法的な $R$ 線型カテゴリも考えられます。これらは、 $R$ 加群のモノイドカテゴリ上で強化され、すべての有限積を許容するカテゴリです。

例

加法カテゴリの元々の例は、アーベル群のカテゴリ Abです。零対象は自明群であり、射の加法は点ごとに与えられ、双積は直和によって与えられます。

より一般的には、環 $R$ 上のすべての加群カテゴリは加法的であり、したがって特に、体 $K$ 上のベクトル空間のカテゴリは加法的である。

以下に説明するように、カテゴリとして考えられる環上の行列の代数も加法的です。

加法則の内部特性

C を半加法カテゴリ、つまりすべての有限重積を持つカテゴリとします。すると、すべてのホム集合には加法があり、アーベルモノイドの構造が与えられ、射の合成は双線型になります。

さらに、 Cが加法的な場合、hom 集合上の 2 つの加法は一致する必要があります。特に、半加法カテゴリが加法的であるためには、すべての射に加法的な逆写像が存在する必要があります。

これは加法カテゴリの加法法則がそのカテゴリの内部にあることを示しています。^[1]

加法則を定義するために、双積の場合、 p _{k は}射影射を表し、i _{k は}射影射を表すという規則を使用します。

対角射は、積の普遍性によって誘導される標準射 $∆: A \to A \oplus Aであり、$ $k$ $= 1, 2$ に対して $p k \circ ∆ = 1 A$ となります。双対的に、余対角射は、余積の普遍性によって誘導される標準射 $\nabla:$ $A$ $\oplus$ $A$ $\to$ $Aであり、$ $k$ $= 1, 2$ に対して $\nabla \circ$ $i$ $k$ $= 1$ $A$ となります。

各オブジェクト $A$ に対して、以下を定義します。

$対角射となる注入i 1 + i 2$ の加算、つまり $∆ = i 1 + i 2$ 。
射影 $p 1 + p 2$ を加えると余角射影となり、つまり $\nabla = p 1 + p 2$ となる。

次に、2つの射 $α k : A \to B$ が与えられたとき、 k = lの場合には $p$ $l$ $\circ (α$ $1$ $\oplus α$ $2$ $)$ $\circ$ $i$ $k が$ $α$ $k$ $に$ 等しく、それ以外の場合には 0 となる $よう$ な $唯一の$ $射$ $α 1 \oplus α$ $2$ $:$ $A$ $\oplus$ $A$ $\to$ $B$ $\oplus$ $Bが存在する。$

$したがって、 α 1 + α 2 := \nabla \circ (α 1 \oplus α 2) \circ ∆$ と定義できます。

この加算は可換かつ結合的である。結合性は合成を考えるとわかる。

A\ {\xrightarrow {\quad \Delta \quad }}\ A\oplus A\oplus A\ {\xrightarrow {\alpha _{1}\,\oplus \,\alpha _{2}\,\oplus \,\alpha _{3}}}\ B\oplus B\oplus B\ {\xrightarrow {\quad \nabla \quad }}\ B

$α \oplus 0 =$ $i$ $1$ $\circ α \circ$ $p$ $1$ を用いると、 $α + 0 = α$ となります。

また、たとえば、 $∆ \circ β = (β \oplus β) \circ ∆$ および $(α 1 \oplus α 2) \circ (β 1 \oplus β 2) = (α 1 \circ β 1) \oplus (α 2 \circ)を使用すると、双線形でもあります。 β 2)$ 。

複積A⊕Bについてはi1∘p1+i2∘p2=1であることに注意 $し$ $てください$ $。$ $これ$ $を$ $使用$ し $て$ $、$ $任意$ $の$ $射$ $A\oplusB$ $\to$ C⊕D $を$ $行列$ $として$ $表す$ $こと$ が $でき$ $ます$ $。$

射影の行列表現

加法カテゴリ内のオブジェクト $A 1, ..., A n$ と $B 1, ..., B m$ $が与えられたとき、射f : A 1 \oplus \cdot\cdot\cdot \oplus A n \to B 1 \oplus \cdot\cdot\cdot \oplus B m を$ $m$ 行 $n$ 列の行列として表すことができる。

{\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}&\cdots &f_{1n}\\f_{21}&f_{22}&\cdots &f_{2n}\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\f_{m1}&f_{m2}&\cdots &f_{mn}\end{pmatrix}}

どこ

f_{kl}:=p_{k}\circ f\circ i_{l}\colon A_{l}\to B_{k}.

$\sum k i k \circ p k = 1$ を用いると、行列の加算と合成は行列の加算と乗算の通常の規則に従うことがわかります。

したがって、加法カテゴリは、行列の代数が意味を成す最も一般的なコンテキストとして見ることができます。

単一のオブジェクト $Aからそれ自身への射は$ 自己準同型環 $End A$ を形成することを思い出してください。 $Aとそれ自身との$ $n$ 重積を $A$ $n$ で表すと、 $A$ $n$ $からA$ $m$ への射は、環 $End$ $A$ からの要素を持つm行n列の行列になります。

逆に、任意の環 R が与えられたとき、 $自然$ 数 $（$ $0$ を含む） $の$ 集合でインデックス付けされたオブジェクト A _nを取り、 $A$ $n$ $からA$ $m$ への射のホム集合を R 上の m 行 n 列の行列の集合とすることで、カテゴリ Mat ( R ) $を$ $形成$ $でき$ ます $。$ ここで、合成は行列の乗算によって与えられます。^[2]このとき $Mat$ $($ $R$ $)$ は加法カテゴリであり、 $A$ $n は$ $n$ 倍のべき乗 $($ $A$ $1$ $)$ $n に$ 等しくなります。

この構成は、ここに示すように、環がただ 1 つのオブジェクトを持つ前加法カテゴリであるという結果と比較する必要があります。

オブジェクト $A n を$ 左加群 $R n$ として解釈すると、この行列カテゴリは $R$ 上の左加群のカテゴリのサブカテゴリになります。

$m$ または $n$ がゼロである特殊なケースでは、通常は0 行または 0 列の行列は考えないため、これは混乱を招く可能性があります。ただし、この概念は理にかなっています。このような行列にはエントリがないため、サイズによって完全に決定されます。これらの行列はかなり退化していますが、加法カテゴリを取得するには、加法カテゴリに含める必要があります。加法カテゴリにはゼロオブジェクトが必要なためです。

ただし、このような行列について考えることは、ある意味では役に立ちます。加法カテゴリ内の任意のオブジェクト $A$ と $B が与えられた場合、$ $Aから 0 への射は 1 つだけ存在し ($ $End A$ にエントリを持つ 0 行 1 列の行列が 1 つだけ存在するのと同じように)、0 から $Bへの射も 1 つだけ存在する ($ $End B$ にエントリを持つ 1 行 0 列の行列が 1 つだけ存在するのと同じように) という事実が強調されます。これは、0 がゼロオブジェクトであると言うことの意味とまったく同じです。さらに、 $Aから$ $B$ へのゼロ射はこれらの射の合成であり、退化した行列を掛け合わせることで計算できます。

加法関数

前加法的なカテゴリ間の関数 F : C → D は、 C 内の各ホム集合上のアーベル群準同型である場合に加法的です。 $カテゴリ$ $が$ $加法$ $で$ $ある$ 場合、関数が加法的であるためには、すべての双積図式が保存される必要があります。

つまり、 $B が$ Cの $A 1 、...、 A n$ の射影射 $p$ $k$ と注入射 $i$ $j を$ 持つ複積である場合、 $F$ $($ $B$ $)は$ Dの $F$ $($ $A$ $1$ $)、...、$ $F$ $($ $A$ $n$ $)$ の射影射 $F$ $($ $p$ $j$ $)$ と注入射 $F$ $($ $i$ $j$ $)$ を持つ複積である必要があります。

加法カテゴリ間で研究されるほぼすべての関数は加法的です。実際、加法カテゴリ間のすべての随伴関数は加法関数でなければならないという定理があります (こちらを参照)。カテゴリ理論で研究される興味深い関数のほとんどは随伴関数です。

一般化

$R$ 線型加法カテゴリ間の関手を考える場合、通常は $R$ 線型関手、つまり各ホム集合上で $R$ 加群準同型を与える関手に制限されます。

特別なケース

前アーベル圏は、あらゆる射が核と余核を持つ加法圏です。
アーベル圏は、あらゆる単射とエピモーフィズムが正規となるような前アーベル圏です。

一般的に研究されている加法圏の多くは、実はアーベル圏です。例えば、Abはアーベル圏です。自由アーベル群は、加法ではあるがアーベルではない圏の例です。^[3]

参考文献

^ マクレーン、サンダース (1950)、「群の双対性」、アメリカ数学会誌、56 (6): 485–516、doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09427-0、MR 0049192第 18 節と第 19 節では、半加法カテゴリにおける加法法則について説明します。
^ HD Macedo、JN Oliveira、「線形代数の型付け: 二積指向アプローチ」、Science of Computer Programming、第 78 巻、第 11 号、2013 年 11 月 1 日、2160-2191 ページ、ISSN 0167-6423、doi :10.1016/j.scico.2012.07.012。
^ シャストリ、アナント R. (2013)、Basic Algebraic Topology、CRC Press、p. 466、ISBN 9781466562431。

Nicolae Popescu ; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules ; Academic Press, Inc. (絶版) では、このすべてを非常にゆっくりと説明しています。

[1] マクレーン、サンダース (1950)、「群の双対性」、アメリカ数学会誌、56 (6): 485–516、doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09427-0、MR 0049192第 18 節と第 19 節では、半加法カテゴリにおける加法法則について説明します。

[2] HD Macedo、JN Oliveira、「線形代数の型付け: 二積指向アプローチ」、Science of Computer Programming、第 78 巻、第 11 号、2013 年 11 月 1 日、2160-2191 ページ、ISSN 0167-6423、doi :10.1016/j.scico.2012.07.012。

[3] シャストリ、アナント R. (2013)、Basic Algebraic Topology、CRC Press、p. 466、ISBN 9781466562431。