単体集合

数学において、単体集合とは、内部の順序構造 (抽象単体) とそれらの間の写像を持つ集合の列である。単体集合は、有向グラフの高次元一般化である。

すべての単体集合は、その幾何学的実現として知られる「良い」位相空間を生じます。この実現は、単体集合の規則に従って接着された幾何学的単体で構成されます。実際、単体集合は、ホモトピー理論の目的で位相空間の本質を捉えるように設計された純粋に組み合わせ的な構成と見なすことができます。具体的には、単体集合のカテゴリは自然なモデル構造を持ち、対応するホモトピーカテゴリは、位相空間のよく知られたホモトピーカテゴリと同等です。

正式には、単体集合は単体圏から集合圏への反変関手として定義される。単体集合は1950年にサミュエル・アイレンバーグとジョセフ・A・ジルバーによって導入された。^[1]

単体集合は、高次圏理論の基本概念である準圏を定義するために使用されます。単体集合と類似した構成は、集合の圏だけでなく任意の圏で実行でき、単体オブジェクトの概念を生み出します。

単体集合は、単体とその接続関係から構築できる (またはホモトピーまで忠実に表現できる) 位相空間を捉えるカテゴリカル (つまり、純粋に代数的な) モデルです。これは、位相空間をモデル化するCW 複体のアプローチに似ていますが、単体集合は純粋に代数的であり、実際の位相を持たないという重要な違いがあります。

実際の位相空間に戻ると、単体集合をコンパクトに生成されたハウスドルフ空間に変換する幾何学的実現 関手があります。ホモトピー理論における CW 複体に関するほとんどの古典的な結果は、単体集合に対する類似の結果によって一般化されます。代数位相学者は主に CW 複体を好み続けていますが、CW 複体が自然に存在しない代数幾何学への応用に単体集合を使用することに関心を持つ研究者が増えています。

単体集合は、有向多重グラフの高次元一般化と見なすことができます。単体集合には、頂点（この文脈では「0-単体」と呼ばれる）と、これらの頂点のいくつかの間の矢印（「1-単体」）が含まれます。2 つの頂点は複数の矢印で接続される場合があり、頂点を自分自身に接続する有向ループも許可されます。有向多重グラフとは異なり、単体集合には高次の単体も含まれる場合があります。たとえば、2-単体は、3 つの頂点A、B、C のリストと 3 つの矢印B  →  C、A  →  C、A  →  Bで囲まれた 2 次元の「三角形」の形状と考えることができます。一般に、n-単体は、 n  + 1 個の頂点（0-単体）とn  + 1 個の面（( n − 1)-単体）のリストで構成されるオブジェクト です。i番目の面の頂点は、 n単体の頂点からi番目の頂点を引いたものです。単体の頂点は別個である必要はなく、単体はその頂点と面によって決まるわけではありません。2 つの異なる単体が同じ面のリスト (したがって同じ頂点のリスト) を共有する場合があります。これは、多重グラフ内の 2 つの異なる矢印が同じ 2 つの頂点を接続する場合と同じです。

単体集合は、有向多重グラフではなく 単純な無向グラフを一般化する抽象単体複体と混同しないでください。

正式には、単体集合Xは、集合X _n , n = 0, 1, 2, ...のコレクション と、これらの集合間の特定の写像、すなわち面写像 d _{n , i}  :  X _n  →  X _{n −1} ( n  = 1, 2, 3, ... かつ 0 ≤  i  ≤  n ) と退化写像 s _{n , i : X n → X n +1 ( n = 0, 1, 2, ... かつ 0 ≤ i ≤ n ) の集まりです。 X n の要素を X の n 単体と考えます。写像 d n , i} は 、_このような_n単体のそれぞれ に 、  i 番目の_面、つまりi番目の頂点の_「反対側の」(つまり、 i 番目の頂点を含まない) 面を割り当てます。写像s n , _iは、各n 単体に、i番目の頂点を複製することによって特定の単体から生じる退化した ( n +1) 単体を割り当てます。この記述では、暗黙的にマップd _{n , i}とs _{n , i}の間に一定の一貫性関係が必要です。

定義の一部としてこれらの単体的同一性を明示的に要求するのではなく、簡潔な現代的な定義では、カテゴリー理論の言語を使用します。

Δ を単体カテゴリとします。Δ の対象は空でない全順序集合です。各対象は、次の形式の対象と一意に順序同型です。

[ n ] = {0, 1, ..., n }

n ≥ 0である。Δ 内の射は、これらの集合間の （非厳密な）順序保存関数である。

単純集合 Xは反変関手です

X  : Δ →セット

ここで、Set は集合のカテゴリです。(あるいは、同等に、単体集合を反対カテゴリΔ ^op → f Setからの共変関数として定義することもできます。)単体集合X が与えられた場合、X ([ n ]) ではなくX _nと書くことがよくあります。

単体集合は、通常sSetと表記されるカテゴリを形成します。カテゴリのオブジェクトは単体集合であり、その射はそれらの間の自然変換です。これは Δ 上の前層のカテゴリです。したがって、これはトポスです。

単体カテゴリ Δ の射（写像）は、2 つの特に重要な射族によって生成され、与えられた単体集合関数によるその像は、その単体集合の面写像と退化写像と呼ばれます。

単体集合Xの面写像は、の単体集合における射 の像です。ここで、は を「逃す」唯一の (順序保存) 射です。これらの面写像をそれぞれ で表すと、 は写像 になります。最初のインデックスが明らかな場合は、の代わりに と書きます。 ${\displaystyle \delta ^{n,0},\dotsc ,\delta ^{n,n}\colon [n-1]\to [n]}$${\displaystyle \delta^{n,i}}$${\displaystyle [n-1]\to [n]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle d_{n,0},\dotsc ,d_{n,n}}$${\displaystyle d_{n,i}}$${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle d_{n,i}}$

単体集合Xの退化写像は、射 の単体集合における像であり、 は2 回「ヒット」する唯一の (順序保存) 全射です。これらの退化写像をそれぞれ で表すと、 は写像 になります。最初のインデックスが明らかな場合は、の代わりに と書きます。 ${\displaystyle \sigma ^{n,0},\dotsc ,\sigma ^{n,n}\colon [n+1]\to [n]}$${\displaystyle \sigma ^{n,i}}$${\displaystyle [n+1]\to [n]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}}$${\displaystyle s_{n,i}}$${\displaystyle X_{n}\to X_{n+1}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{n,i}}$

定義された写像は次の単体恒等式を満たします。

1. ${\displaystyle d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}}$i < j の場合。(これは0 ≤ i < j ≤ nの短縮形です。)${\displaystyle d_{n-1,i}d_{n,j}=d_{n-1,j-1}d_{n,i}}$
2. ${\displaystyle d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}}$i < jの 場合。
3. ${\displaystyle d_{i}s_{j}={\text{id}}}$i = jまたはi = j + 1の場合 。
4. ${\displaystyle d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}}$i > j + 1 の場合 。
5. ${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}}$i ≤ j の場合。

逆に、写像を伴う集合X _nのシーケンスが与えられ、単体恒等式を満たす場合、これらの面写像と退化写像を持つ唯一の単体集合Xが存在します。したがって、恒等式は単体集合を定義する別の方法を提供します。 ${\displaystyle d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}}$

半順序集合( S , ≤ )が与えられたとき、 Sの神経と呼ばれる単体集合NS を次のように定義できます。 Δ のすべてのオブジェクト [ n ]に対して、[ n ] からSへの順序保存写像の集合であるNS ([ n ]) = hom _poset ([ n ] , S ) を設定します。 Δ のすべての射 φ: [ n ] → [ m ] は順序保存写像であり、合成によって写像NS (φ) : NS ([ m ]) → NS ([ n ]) が誘導されます。 NSが Δ からSet : 単体集合 への反変関手であることは簡単に確認できます。

具体的には、神経NSのn単体、つまりNS _n = NS ([ n ])の要素は、 S : ( a ₀  ≤  a ₁  ≤ ... ≤  a _n )の要素の順序付けられた長さ ( n +1) のシーケンスとして考えることができます。面マップd _{i は、}このようなリストからi番目の要素を削除し、退化マップs _iはi番目の要素を複製します。

同様の構成をすべてのカテゴリCに対して実行して、 Cの神経NC を取得できます。ここで、NC ([ n ]) は [ n ]からCへのすべての関数の集合であり、[ n ] をオブジェクト 0,1,..., nと、 i  ≤  jの場合は常にiからjへの単一の射を持つカテゴリと見なします。

具体的には、神経NCのn単体は、 C内のn個の合成可能射のシーケンスとして考えることができます: a ₀  →  a ₁  → ... →  a _n。(特に、0 単体はCのオブジェクトであり、1 単体はCの射です。) 面写像d ₀は、そのようなリストから最初の射を削除し、面写像d _{n は}最後の射を削除し、0 <  i  <  nの面写像d _{i は}a _{i を}削除して、i番目と ( i  + 1) 番目の射を構成します。退化写像s _{i は、}位置iに恒等射を挿入することによってシーケンスを長くします 。

NS神経からposet S を復元でき、 NC神経からカテゴリC を復元できます。この意味で、単体集合は poset とカテゴリを一般化します。

単体集合のもう一つの重要な例は、位相空間Yの特異集合SYです。ここで、SY _{n は}標準的な位相n単体からYへの連続写像すべてから構成されます。特異集合については以下でさらに説明します。

標準的なn単体は Δ ⁿと表記され、関数 hom _Δ (-, [ n ]) として定義される単体集合です。ここで [ n ] は、最初の ( n + 1) 個の非負整数の順序集合 {0, 1, ... , n } を表します。 (多くのテキストでは、代わりに hom([ n ],-)と書かれ、この hom 集合は反対のカテゴリ Δ ^opにあると理解されています。^[2] )

米田の補題により、単体集合Xのn単体は^ΔnからXへの自然変換、すなわちと1対1で対応します。 ${\displaystyle X_{n}=X([n])\cong \operatorname {Nat} (\operatorname {hom} _{\Delta }(-,[n]),X)=\operatorname {hom} _{\textbf {sSet}}(\Delta ^{n},X)}$

さらに、X はで表される単体のカテゴリを生じ、そのオブジェクトは写像 (すなわち自然変換) Δ ⁿ → Xであり、その射はΔ の写像 [ n ] → [ m ] から生じるX上の自然変換 Δ ⁿ → Δ ^mである。つまり、はX上の Δ のスライスカテゴリである。次の同型は、単体集合Xがその単体の余極限であることを示す: ^[3]${\displaystyle \Delta \downarrow {X}}$${\displaystyle \Delta \downarrow {X}}$

${\displaystyle X\cong \varinjlim _{\Delta ^{n}\to X}\Delta ^{n}}$

ここで、余極限はXの単体のカテゴリ上で取られます。

単体集合X をコンパクト生成ハウスドルフ位相空間のカテゴリ |•| : sSet → CGHaus内の対応する実現に変換する幾何学的実現と呼ばれる関手 |•|: sSet → CGHausが存在する。直感的には、 Xの実現とは、 Xのすべてのn単体を位相的n単体 (以下で定義される ( n + 1) 次元ユークリッド空間の特定のn次元部分集合)に置き換え、これらの位相的単体をXの 単体が一緒にぶら下がるように接着した場合に得られる位相空間 (実際は CW 複体) である。このプロセスでは、 Xの単体の向きは失われる。

実現関数を定義するために、まず標準n単体Δ ⁿ上で次のように定義する。幾何学的実現|Δ ⁿ |は、一般位置における標準的な位相n単体であり、次のように与えられる 。

${\displaystyle |\Delta ^{n}|=\{(x_{0},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}:0\leq x_{i}\leq 1,\sum x_{i}=1\}.}$

この定義は、任意の単体集合Xに対して、

|X| = lim _{Δ ⁿ → X} | Δ ⁿ |

ここで、余極限はXの n 単体カテゴリ上で取られます。幾何学的実現はsSet上で関数的です。

幾何学的実現の対象カテゴリとして、位相空間のカテゴリTopではなく、コンパクト生成ハウスドルフ空間のカテゴリCGHausを使用することは重要です。sSetと同様にTopとは異なり、カテゴリCGHaus は直積閉です。カテゴリTopとCGHausではカテゴリ積が異なって定義され、CGHausのカテゴリ積は幾何学的実現を介してsSetのカテゴリに対応します。

位相空間Yの特異集合は、次のように定義される 単体集合SYである。

( SY )([ n ]) = hom _{T op} (|Δ ⁿ |, Y ) 各オブジェクト [ n ] ∈ Δ について。

すべての順序保存写像 φ:[ n ]→[ m ] は、自然な方法で連続写像 |Δ ⁿ |→|Δ ^m | を誘導し、これを合成するとSY ( φ ) : SY ([ m ]) → SY ([ n ]) が得られる。この定義は、標準的な位相n単体で対象の位相空間を「探査」するという特異ホモロジーの標準的な考え方に類似している。さらに、特異関数S は、上記の幾何学的実現関数の 右随伴である。つまり、

hom _Top (| X |, Y ) ≅ hom _sSet ( X , SY )

任意の単体集合Xと任意の位相空間Yに対して成り立ちます。直感的には、この付随関係は次のように理解できます。Xの幾何学的実現から空間Yへの連続写像は、 Xのあらゆる単体に、対応する標準的な位相単体からY への連続写像を、これらの写像がX内の単体が一緒になる方法と互換性があるような方法で関連付ける場合に、一意に指定されます。

単体集合のカテゴリのモデル構造を定義するには、ファイブレーション、コファイブレーション、および弱同値を定義する必要があります。ファイブレーションはKan ファイブレーションとして定義できます。単体集合の写像は、その幾何学的実現が空間の弱ホモトピー同値である場合に弱同値として定義されます。単体集合の写像は、単体集合の単射である場合にコファイブレーションとして定義されます。これらの射のクラスを持つ単体集合のカテゴリがモデルカテゴリになり、適切な閉じた単体モデルカテゴリの公理を実際に満たすというのは、Daniel Quillenの難しい定理です。

理論の重要な転換点は、カンファイブレーションの幾何学的実現が空間のセールファイブレーションであることです。モデル構造が整っていれば、標準的なホモトピー代数法を使用して単体集合のホモトピー理論を展開できます。さらに、幾何学的実現と特異関数は、閉じたモデルカテゴリのキレン同値を与え、同値性を誘導します。

|•|:ホ(セット) ↔ホ(トップ)

単体集合のホモトピーカテゴリと、それらの間の連続写像のホモトピー類を持つ CW 複体の通常のホモトピーカテゴリとの間の関係。右随伴関手 (この場合は、特異集合関手) がファイブレーション (それぞれ自明なファイブレーション) をファイブレーション (それぞれ自明なファイブレーション) に伝達することは、Quillen 随伴の一般的な定義の一部です。

カテゴリCの単体オブジェクト Xは反変関手である

X  : Δ → C

または同等の共変関数

X : Δ ^op → C,

ここで、Δ は依然として単体カテゴリ、^{op は}反対カテゴリを表します。Cが集合のカテゴリである場合、上で定義した単体集合についてのみ話します。C を群のカテゴリまたはアーベル群のカテゴリとすると、それぞれ単体群のカテゴリsGrpと単体アーベル群のカテゴリsAbが得られます。

単体群と単体アーベル群も、基礎となる単体集合の構造によって誘導される閉じたモデル構造を持ちます。

単体アーベル群のホモトピー群は、単体アーベル群と有界鎖複体の間のカテゴリの同値性をもたらすドルド・カン対応を利用して計算することができ、これは関数によって与えられる。

N: sAb → Ch ₊

そして

Γ: Ch ₊ →   sAb .

単体集合はもともと、群の分類空間を正確かつ便利に記述するために使用されていました。この考え方は、カテゴリーの分類空間を検討するというグロタンディークの考え方、特にキレンの代数的 K 理論の研究によって大幅に拡張されました。フィールズ賞を受賞したこの研究で、キレンは無限単体集合を操作するための驚くほど効率的な方法を考案しました。これらの方法は、代数幾何学と位相幾何学の境界にある他の分野でも使用されました。たとえば、環のアンドレ・キレン ホモロジーは、このように定義され研究された「非アーベル ホモロジー」です。

代数的 K 理論とアンドレ・キラン ホモロジーは両方とも、代数データを使用して単体集合を記述し、この単体集合のホモトピー群を取ることで定義されます。

単体法は、空間がループ空間であることを証明したいときに役立ちます。基本的な考え方は、 が分類空間を持つ群である場合、 はループ空間とホモトピー同値であるということです。自体が群である場合、手順を繰り返すことができ、 は二重ループ空間とホモトピー同値です 。 がアーベル群である場合 、実際にこれを無限回繰り返すことができ、 が無限ループ空間であることがわかります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega BG}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega ^{2}B(BG)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

がアーベル群でない場合でも、それが十分に可換な合成を持つ場合があり、その場合上記の考え方を使用して が無限ループ空間であることを証明できます。このようにして、位相空間として考えた場合の環の 代数的 - 理論が無限ループ空間であることを証明できます。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$

近年、高次圏論や導来代数幾何学で単体集合が使われている。準圏は、射の合成がホモトピーまでしか定義されておらず、高次のホモトピーの合成に関する情報も保持されている圏と考えることができる。準圏は、弱カン条件という追加条件を満たす単体集合として定義される。

• デルタセット
• 樹状集合、単体集合の一般化
• 単体前層
• 準カテゴリ
• カンコンプレックス
• ドルド・カン通信
• 単体ホモトピー
• 単体球
• 抽象単体複体

• Riehl, Emily . 「単体集合へのゆったりとした入門」(PDF) .
• メイ、J.ピーター.代数的位相幾何学における単体オブジェクト、シカゴ大学出版局、1967年
• nラボの単体集合