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本稿では、トポスという数学的概念について、ごく一般的な背景を説明する。トポスは圏論の一側面であり、難解な概念として知られている。その抽象度は一定のレベル以下にまで下げることはできないが、一方で文脈を与えることは可能である。これは部分的には歴史的発展の観点から、またある程度は圏論に対する様々な見解を説明する上でも役立つ。
1950年代後半、代数幾何学の基礎が書き換えられつつあり、トポス概念の起源はまさにこの時期に見出される。当時、ワイル予想は研究の大きな動機付けとなっていた。そして、現在では周知の通り、その証明やその他の進歩への道は、エタールコホモロジーの構築にあったのである。
今にして思えば、代数幾何学は長い間、二つの問題に苦慮してきたと言えるだろう。一つ目は点に関する問題である。射影幾何学の時代には、代数多様体上に「十分な」点がないことが、優れた幾何学理論（コンパクト多様体のようなもの）を構築する上での障害となることは明らかだった。また、20世紀前半に位相幾何学が形を成し始めるとすぐに明らかになった問題として、代数多様体の位相には「少なすぎる」開集合しかないという難しさもあった。
点の問題は1950年までに解決に近づいていた。アレクサンダー・グロタンディークは（米田の補題を援用して）大胆な一歩を踏み出し、この問題を解決した。もちろん、その代償として、あらゆる多様体、あるいはより一般的なスキームは関手になる必要があった。しかし、開集合を追加することは不可能だった。前進の道は別のところにあった。
トポスの定義は、1960年頃にやや間接的な形で初めて登場しました。代数幾何学におけるいわゆる「降下」の一般的な問題が検討された時期と、基本群が代数幾何学の枠組みに一般化された時期（プロ有限群として）が重なります。後の研究（1970年頃）では、「降下」はコモナド理論の一部となっています。ここで、グロタンディーク学派が「純粋な」圏論者とは異なるアプローチをとる一例を見ることができます。これは、トポスの概念が後にどのように扱われたかを理解する上で重要なテーマです。
おそらくもっと直接的な方法があっただろう。アーベル圏の概念は、グロタンディークがホモロジー代数の基礎研究において、アーベル群の層と加群の圏を統一するために導入したものである。アーベル圏は、ある圏論的操作の下で閉じていると想定されている。このような定義を用いることで、構造に完全に焦点を当てることができ、対象となるものの性質については一切言及する必要がない。この種の定義は、一行で言えば1930年代の束の概念にまで遡ることができる。1957年頃には、集合の層の圏を純粋に圏論的に特徴づけるという問いを立てることが可能であった。アーベル群の層の場合は、グロタンディークの研究（東北論文）によって包含されていたからである。
トポスのこのような定義は、5年後の1962年頃、グロタンディークとヴェルディエによって最終的に与えられた（ヴェルディエのニコラ・ブルバキのセミナー「解析学の場」を参照）。この特徴付けは「十分な余極限を持つ」圏によって行われ、現在グロタンディーク・トポスと呼ばれるものに適用された。この理論は、グロタンディーク・トポスが層の圏であることを確立することによって完成された。ここで「層」という言葉は、グロタンディーク位相を含むため、拡張された意味を持つようになった。
グロタンディーク位相（サイトとも呼ばれる）の概念は、ジョン・テイトによってリーマン面の2つの意味を大胆にかけた言葉遊びとして特徴づけられてきた。技術的に言えば、それは待望のエタールコホモロジー（およびフラットコホモロジーや結晶コホモロジーなどの他の洗練された理論）の構築を可能にした。この時点で、つまり1964年頃には、代数幾何学によって推進された発展はほぼ終焉を迎えていた。「開集合」の議論は、多様体がその（通常の）ザリスキ開集合の非分岐被覆において、十分に豊かな開集合のサイトを持つという結論に効果的にまとめられていた。
トポスの現在の定義は、ウィリアム・ローヴェアとマイルズ・ティアニーに遡ります。時期的には上記の定義とほぼ一致していますが、歴史的にはその考え方が異なり、定義はより包括的です。つまり、グロタンディーク・トポスではないトポスの例も存在します。さらに、これらのトポスは、多くの論理学分野にとって興味深いものとなる可能性があります。
ローヴェアとティアニーの定義は、トポス理論における部分対象分類子の中心的な役割を浮き彫りにしている。通常の集合のカテゴリーでは、これは真偽値であるブール値の2要素集合である。与えられた集合Xの部分集合は、 X上の任意の2要素集合への関数と同じである（同じくらい良い）と言うのは、ほぼ同義である。つまり、「最初の」要素を固定し、部分集合Yを、 Yをそこに送る関数に対応させ、 Xにおけるその補集合をもう一方の要素に対応させる。
さて、部分対象分類子は層理論に見出すことができる。やはり同義反復的ではあるが、より抽象的ではあるが、位相空間Xに対して、 X上のすべての集合の層に関してその役割を果たすX上の層の直接的な記述が存在する。Xの開集合U上のその層の切断の集合は、Uの開部分集合の集合に等しい。層に関連付けられた空間は、それに対しては記述するのがより難しい。
そこでローヴェアとティアニーは、部分対象分類子といくつかの限界条件（少なくともデカルト閉圏を作るための条件）を仮定したトポスの公理を定式化した。しばらくの間、このトポスの概念は「基本トポス」と呼ばれていた。
論理との関連性という考え方が定式化されると、その新しい理論を「検証」するためのいくつかの展開があった。
デイヴィッド・ヒルベルトの長期計画の推進において、直観主義論理の中心的アイデアが自然な形で受け入れられる場が見つかったのは、皮肉なことだった。ヒルベルトはLEJ・ブロウワーの学派を嫌っていたからだ。層理論的な意味での「局所的」存在としての存在、現在ではクリプキ＝ジョヤル意味論と呼ばれているものは、まさにうってつけである。一方、ブロウワーが直観主義的実数理論を「種」と呼んだ長年の研究は、おそらく何らかの形で包含され、歴史的地位を奪われてしまったのだろう。各トポスには実数理論が存在するため、単一の決定的な直観主義理論は存在しない。
エタールコホモロジーに関する後期の研究は、完全な一般トポス理論は必ずしも必要ではないことを示唆する傾向にある。一方で、他のサイトが用いられ、グロタンディーク・トポスはホモロジー代数の中でその地位を占めるようになった。
ローヴェア計画は、高階論理を圏論の観点から記述することを目的としていました。ヨアヒム・ランベックとPJ・スコットによる著書では、これが簡潔に記述できることが示されています。結果として得られるのは、本質的に直観主義的（すなわち構成的論理）理論であり、その内容は自由トポスの存在によって明確化されます。これは広義の集合論であると同時に、純粋構文論の領域に属するものでもあります。その部分対象分類子の構造は、ハイティング代数の構造です。より古典的な集合論を得るには、さらにブール代数でもあるトポス、あるいはさらに特化して、真理値が2つしかないトポスを考察することができます。その著書では、構成的数学について語られていますが、実際には、これは基礎的なコンピュータ科学（本書では言及されていません）として読むことができます。関数の像（値域）の形成など、集合論的な操作について議論したい場合、トポスはこれを完全に構成的に表現できることが保証されています。
また、無意味トポロジーという、より分かりやすい派生分野も生み出しました。無意味トポロジーでは、ロケール概念が、トポスを位相空間の重要な発展として扱うことで得られたいくつかの洞察を分離します。スローガンは「点は後から来る」です。これは、このページでの議論を一周させるものです。この見解は、ピーター・ジョンストンの『ストーン・スペース』に書かれており、コンピュータ科学分野のリーダーによって「外延性に関する論文」と呼ばれています。外延性は数学では環境的なものとして扱われます。つまり、数学者が理論を持つことを期待するものではありません。おそらくこれが、トポス理論が奇妙なものとして扱われてきた理由でしょう。それは、伝統的な幾何学的思考の許容範囲を超えています。型なしラムダ計算のような徹底的に内包的な理論のニーズは、表示的意味論で満たされています。トポス理論は、長い間、この分野における可能性のある「マスター理論」のように見えてきました。
トポスの概念は、代数幾何学において、層の概念と圏論的演算による閉包の概念を組み合わせた結果として生じた。それはコホモロジー理論において一定の重要な役割を果たしている。代表的な応用例として、エタールコホモロジーが挙げられる。
論理学に関連するその後の発展は、より学際的である。これには、ホモトピー理論（分類トポス）を用いた例が含まれる。また、圏論と数理論理学の間のつながり、さらに（高レベルの組織的議論として）圏論と型理論に基づく理論計算機科学の間のつながりも含まれる。概念の遍在性に関するサンダース・マック・レーンの一般的な見解を前提とすれば、これらは明確な地位を与えることになる。数学における統一的な架け橋としてのトポスの使用は、オリビア・カラメロが2017年の著書で先駆的に行った。 [ 1 ]