始点オブジェクトと終点オブジェクト

数学の一分野である圏論において、圏 $C$ の初期対象とは、 $C$ 内のあらゆる対象 $Xに対して、$ $I$ $\to$ $X$ という射が1 つだけ存在するような $C$ 内の対象 $I の$ ことである。

双対概念は終端オブジェクト（終端要素とも呼ばれる）の概念です。C内のすべてのオブジェクト $X$ に対して、 $X$ $\to$ $T$ $という$ 射が1 つだけ存在する場合、 $Tは終端です。初期オブジェクトは$ 共終端または普遍とも呼ばれ、終端オブジェクトは最終とも呼ばれます。

オブジェクトが始端かつ終端である場合、それはゼロオブジェクトまたはヌルオブジェクトと呼ばれます。尖端カテゴリはゼロオブジェクトを持つカテゴリです。

厳密な初期オブジェクト I $とは、$ $I$ へのすべての射が同型となるオブジェクトです。

例

空集合は、集合のカテゴリであるSetにおける唯一の初期オブジェクトです。すべての 1 要素集合 (シングルトン) はこのカテゴリの終端オブジェクトです。ゼロオブジェクトは存在しません。同様に、空空間は位相空間のカテゴリであるTopにおける唯一の初期オブジェクトであり、すべての 1 点空間はこのカテゴリの終端オブジェクトです。
集合と関係のカテゴリRelでは、空集合は一意の初期オブジェクト、一意の終端オブジェクト、したがって一意のゼロオブジェクトです。

尖った集合のカテゴリ（そのオブジェクトは、区別された元を伴う空でない集合であり、 $（ A 、 a ）から$ $（ B 、 b ）$ への射は、 $f$ $（$ $a$ $）=$ $b$ となる関数 $f ： A \to B$ である）では、すべてのシングルトンはゼロオブジェクトです。同様に、尖った位相空間のカテゴリでは、すべてのシングルトンはゼロオブジェクトです。
群のカテゴリGrpでは、任意の自明な群はゼロオブジェクトです。自明なオブジェクトは、アーベル群のカテゴリAb、擬環のカテゴリRng、環上の加群のカテゴリR -Mod、および体上のベクトル空間のカテゴリK -Vectでもゼロオブジェクトです。詳細については、ゼロオブジェクト (代数)を参照してください。これが「ゼロオブジェクト」という用語の由来です。
単位元と単位元保存射を持つ環のカテゴリであるRingでは、整数環Zは始対象です。単一の元 $0 = 1のみからなる$ 零環は終対象です。
Rig （単位元と単位元保存射を持つリグのカテゴリ）では、自然数 Nのリグは始対象です。ゼロ環であるゼロリグは、単一の要素 $0 = 1$ のみで構成され、終対象です。
体のカテゴリである体には、始対象も終対象もありません。ただし、固定標数の体のサブカテゴリでは、素体は始対象です。
任意の半順序集合 $(P, \leq)$ はカテゴリとして解釈できます。つまり、オブジェクトは $P$ の要素であり、 $x$ $\leq$ $y$ の場合にのみ、 $xから$ $y$ への単一の射が存在します。このカテゴリは、 $P が$ 最小元を持つ場合にのみ初期オブジェクトを持ちます。また、 $P が$ 最大元を持つ場合にのみ、終端オブジェクトを持ちます。
Cat、射として関手を持つ小さなカテゴリのカテゴリには、初期オブジェクトとして空のカテゴリ0 (オブジェクトも射もない) があり、終端オブジェクトとして終端カテゴリ1 (単一の恒等射を持つ単一のオブジェクトを持つ) があります。
スキームのカテゴリでは、整数環の素スペクトルSpec( Z )は終端オブジェクトです。空のスキーム (ゼロ環の素スペクトルに等しい) は初期オブジェクトです。
図Fの極限は、 Fへの錐のカテゴリにおける終端オブジェクトとして特徴付けられる場合があります。同様に、 Fの余極限は、Fからの余錐のカテゴリにおける始端オブジェクトとして特徴付けられる場合があります。
可換環R上の鎖複体のカテゴリCh _Rでは、零複体は零オブジェクトです。
0 → a → b → c → 0という形式の短い完全列では、始点オブジェクトと終点オブジェクトは匿名のゼロオブジェクトです。これはコホモロジー理論で頻繁に使用されます。

プロパティ

存在と独自性

始端オブジェクトと終端オブジェクトは、特定のカテゴリに存在する必要はありません。ただし、存在する場合は、本質的に一意です。具体的には、 $I 1$ と $I 2$ が2 つの異なる始端オブジェクトである場合、それらの間には一意の同型性があります。さらに、 $I が始端オブジェクトである場合、$ $I$ と同型のオブジェクトも始端オブジェクトです。終端オブジェクトについても同じことが言えます。

完全カテゴリの場合、初期オブジェクトの存在定理が存在します。具体的には、（局所的に小さい）完全カテゴリ $C$ が初期オブジェクトを持つのは、集合 $I$ （適切なクラスではない）と $C$ のオブジェクトの $I$ インデックス付きファミリ $（$ $K$ $i$ $）が存在し、$ $C$ の任意のオブジェクト $Xに対して、$ $i$ $\in$ $I$ に対して少なくとも 1 つの射 $K$ $i$ $\to$ $X$ が存在する場合のみです。

同等の配合

カテゴリ $C$ の終端オブジェクトは、唯一の空図 $0$ $\to$ $C$ の極限として定義することもできます。空カテゴリは空虚に離散カテゴリであるため、終端オブジェクトは空積と考えることができます(積は、一般に離散図 ${$ $X$ $i$ $}$ の極限です)。双対的に、初期オブジェクトは空図 $0$ $\to$ $C$ の余極限であり、空の余積またはカテゴリ和と考えることができます。

したがって、極限を保存する任意の関数は終端オブジェクトを終端オブジェクトに変換し、余極限を保存する任意の関数は初期オブジェクトを初期オブジェクトに変換します。たとえば、自由オブジェクトを持つ任意の具体的なカテゴリの初期オブジェクトは、空集合によって生成される自由オブジェクトになります (自由関数は、Setへの忘却関数の左随伴であり、余極限を保存するため)。

始対象と終対象は、普遍的性質と随伴関手によって特徴付けられることもある。1を単一の対象（• で示される）を持つ離散カテゴリとし、 $U : C \to 1$ を1に対する唯一の（定数）関手とする。すると

$C$ の初期オブジェクト $I は$ 、 • から $Uへの$ 普遍射です。 • を $I$ に送る関数は、Uの左随伴です。
$C$ の終端オブジェクト $T は、$ $U$ から • への普遍射です。 • を $T$ に送る関数は、 $U$ の右随伴です。

他のカテゴリ構造との関係

カテゴリー理論における多くの自然な構成は、適切なカテゴリー内の開始オブジェクトまたは終了オブジェクトを見つけるという観点から定式化できます。

オブジェクト $X$ から関数 $Uへの$ 普遍射は、コンマカテゴリ $($ $X$ $↓$ $U$ $)$ における初期オブジェクトとして定義できます。双対的に、 $Uから$ $X$ への普遍射は、 $($ $U$ $↓$ $X$ $)$ における終端オブジェクトです。
図 $F$ の極限は、 $F$ への円錐の圏である $Cone(F)$ の終端オブジェクトです。双対的に、 $F$ の余極限は、 $F$ からの円錐の圏の始端オブジェクトです。
関数 $Fの$ Setへの表現は、 $F$ の要素のカテゴリ内の初期オブジェクトです。
最終関数子（または初期関数子）の概念は、最終オブジェクト（または初期オブジェクト）の概念の一般化です。

その他のプロパティ

始点または終点オブジェクト $Iの$ 自己準同型モノイドは自明です: $End($ $I$ $) = Hom($ $I$ $,$ $I$ $) = { id$ $I$ $}$ 。
カテゴリ $C$ にゼロオブジェクト $0がある場合、$ $C$ 内の任意のオブジェクト $X$ と $Y$ のペアに対して、一意の合成 $X$ $\to 0 \to$ $Y$ $はX$ から $Y$ へのゼロ射です。

参考文献

アダメク、イジー。ヘルリッヒ、ホルスト。ストレッカー、ジョージ E. (1990)。抽象的なカテゴリと具体的なカテゴリ。猫の喜び(PDF)。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001. 2015年4月21日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2008年1月15日閲覧。
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter 編 (2004)。圏論的基礎。順序、位相、代数、層理論に関する特別なトピック。数学とその応用百科事典。第 97 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83414-7.ZBL1034.18001 。
Mac Lane, Saunders (1998)。Category for the Working Mathematician . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (第 2 版)。Springer -Verlag . ISBN 0-387-98403-8.ZBL0906.18001 。
この記事は、PlanetMath の初期オブジェクトと終了オブジェクトの例に関する記事に一部基づいています。

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