カンファイブレーション

数学において、カン複体とカンファイブレーションは単体集合の理論の一部です。カンファイブレーションは単体集合上の標準モデルカテゴリ構造のファイブレーションであり、したがって根本的に重要です。カン複体は、このモデルカテゴリのファイブラントオブジェクトです。名前はダニエル・カンにちなんで付けられました。

各n  ≥ 0に対して、標準単体${\displaystyle n}$、は表現可能な単体集合である ことを思い出してください。${\displaystyle \Delta ^{n}}$

${\displaystyle \Delta ^{n}(i)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {\Delta } }([i],[n])}$

この単体集合に幾何学的実現関数を適用すると、位相標準-単体${\displaystyle n}$に同相な空間、つまり座標が非負で合計が 1 になる すべての点からなる凸部分空間が得られます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle (t_{0},\dots ,t_{n})}$

各k  ≤  nに対して、これはサブ複体 を持ち、これは の内部のk番目の角で、k番目の面を除いたn単体の境界に対応します。これは、の他のすべての面に対応するn 個のマップの像の和集合など、さまざまな方法で正式に定義できます。[ ^1]内部にある形の角は、隣接する像の上部にある黒い V のように見えます。 が単体集合である場合、マップ ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle \Delta ^{n-1}\rightarrow \Delta ^{n}}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle \Lambda _{k}^{2}}$${\displaystyle \Delta ^{2}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\to X}$

は、各 に対して1つずつ、適合条件を満たす -単体の集合に対応します。明示的には、この条件は次のように記述できます。 -単体をリストとして書き、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle (s_{0},\dots ,s_{k-1},s_{k+1},\dots ,s_{n})}$

${\displaystyle d_{i}s_{j}=d_{j-1}s_{i}\,}$全ての人にとって。^[2]${\displaystyle i<j}$${\displaystyle i,j\neq k}$

これらの条件は、内部に座るという - 単体では満たされます。 ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$

単体集合の写像がカンファイブレーションであるとは、任意のおよびに対して、かつ任意の写像 および に対して（ここで はへのの包含）となる写像が存在する場合です。 このように述べると、定義は位相幾何学におけるファイブレーションの定義と非常によく似ており（ホモトピーの持ち上げ特性も参照）、そこから「ファイブレーション」という名前が付けられています。 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\rightarrow X}$${\displaystyle y:\Delta ^{n}\rightarrow Y\,}$${\displaystyle f\circ s=y\circ i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle x:\Delta ^{n}\rightarrow X}$${\displaystyle s=x\circ i}$${\displaystyle y=f\circ x}$

単体集合の -単体と射との対応（米田の補題の結果）を用いると、この定義は単体を用いて記述することができる。写像のイメージは、上で述べたように角として考えることができる。 が を介して因数分解できることを求めることは、その面が からの角を（他の 1 つの面と共に）構成する-単体が存在することを要求するのに対応する。すると、要求される写像は、その面に からの角が含まれる単体に対応する。右の図は 2 次元の例である。下の図の黒い V は青い-単体で埋められているので、上の黒い V がそれに写像されるなら、縞模様の青い-単体が存在し、点線の青い -単体とともに、明らかな方法で写像される必要がある。^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle fs:\Lambda _{k}^{n}\to Y}$${\displaystyle fs}$${\displaystyle yi}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle fs}$${\displaystyle x:\Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$

単体集合は、1点単体集合からの写像が Kan ファイブレーションである場合にKan 複体と呼ばれます。単体集合のモデルカテゴリでは、は終端オブジェクトであるため、 Kan 複体はファイブラントオブジェクトとまったく同じです。同様に、これは次のように述べることもできます。ホーンからのすべての写像が への拡張を持つ場合、つまり、次のようなリフトが存在することを意味します。${\displaystyle X}$${\displaystyle X\to \{*\}}$${\displaystyle \{*\}}$${\displaystyle \alpha :\Lambda _{k}^{n}\to X}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle {\tilde {\alpha }}:\Delta ^{n}\to X}$

${\displaystyle \alpha ={\tilde {\alpha }}\circ \iota }$

包含写像 の場合、 はKan 複合体です。逆に言えば、すべての Kan 複合体はこの特性を持つため、 Kan 複合体の簡単な技術的条件が得られます。 ${\displaystyle \iota :\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$${\displaystyle X}$

重要な例としては、特異ホモロジーを定義するために用いられる特異単体 の構築が挙げられる。これは特異関数と呼ばれる^{[4] pg 7}

${\displaystyle S:{\text{Top}}\to s{\text{Sets}}}$。

空間 が与えられたとき、 X の特異-単体を、標準的な位相的-単体（上記参照）から への連続写像として定義します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:\Delta _{n}\to X}$

これらの写像の集合を非負の値すべてに対してとると、次数付き集合が得られる。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle S(X)=\coprod _{n}S_{n}(X)}$。

これを単体集合にするには、面マップを次のように 定義します。${\displaystyle d_{i}:S_{n}(X)\to S_{n-1}(X)}$

${\displaystyle (d_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n-1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},0,t_{i},\dots ,t_{n-1})\,}$

および 退化マップ${\displaystyle s_{i}:S_{n}(X)\to S_{n+1}(X)}$

${\displaystyle (s_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n+1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2},\dots ,t_{n+1})\,}$。

の任意の面の和はの強い変形縮約なので、これらの面上で定義された任意の連続関数は に拡張することができ、これはが Kan 複体であることを示す。^[5]${\displaystyle n+1}$${\displaystyle \Delta _{n+1}}$${\displaystyle \Delta _{n+1}}$${\displaystyle \Delta _{n+1}}$${\displaystyle S(X)}$

特異関数が幾何学的実現関数の右随伴関数で あることは注目に値する。

${\displaystyle |\cdot |:s{\text{Sets}}\to {\text{Top}}}$

同型性を与える

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\text{Top}}(|X|,Y)\cong {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X,S(Y))}$

単体群の基礎となる単体集合は常にフィブラントである ことが示せる^{[4] pg 12}。特に、単体アーベル群の場合、その幾何学的実現はアイレンベルグ・マクレーン空間の積とホモトピー同値である。

${\displaystyle \prod _{i\in I}K(A_{i},n_{i})}$

特に、これには空間 の分類が含まれます。したがって、空間、、および無限レンズ空間 は、何らかの単体集合の Kan 複体に対応します。実際、この集合は、連鎖複体のDold–Kan 対応を使用し、単体アーベル群の基礎となる単体集合を取る ことで明示的に構築できます。${\displaystyle S^{1}\simeq K(\mathbb {Z} ,1)}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle L_{q}^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} /q,2)}$

もう一つの重要な例として、小さな群 に関連付けられた単体集合が挙げられます。これは単体集合の幾何学的実現として定義され、通常は と表記されます。 を無限群 に置き換えることもできます。無限群の幾何学的実現のホモトピー圏は、ホモトピー型のホモトピー圏と同等であると推測されます。これはホモトピー仮説と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle [\Delta ^{op},{\mathcal {G}}]}$${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

標準的な-単体はカン複体ではないこと が分かる^{[6] pg 38}。反例の構成は一般に、低次元の例、例えば を見ることで見つけることができる。写像をとれば、${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle \Delta ^{1}}$${\displaystyle \Lambda _{0}^{2}\to \Delta ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}[0,2]\mapsto [0,0]&[0,1]\mapsto [0,1]\end{matrix}}}$

は、地図は順序保存でなければならないため、地図に拡張できないという反例である。地図があったら、${\displaystyle \Delta ^{2}\to \Delta ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0\mapsto 0\\1\mapsto 1\\2\mapsto 0\end{aligned}}}$

しかし、これは単体集合のマップではありません。

単体集合には関数 complexと呼ばれる関連する単体集合があり、単体は次のように定義される。${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle {\textbf {Hom}}(X,Y)}$

${\displaystyle {\textbf {Hom}}_{n}(X,Y)={\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times \Delta ^{n},Y)}$

順序写像に対しては誘導写像が存在する。${\displaystyle \theta :[m]\to [n]}$

${\displaystyle \theta ^{*}:{\textbf {Hom}}(X,Y)_{n}\to {\textbf {Hom}}(X,Y)_{m}}$

（Homの最初の因子は反変なので）写像を合成に送ることで定義される${\displaystyle f:X\times \Delta ^{n}\to Y}$

${\displaystyle X\times \Delta ^{m}\xrightarrow {1\times \theta } X\times \Delta ^{n}\xrightarrow {f} Y}$

この複体には次のような単体集合の指数法則がある。

${\displaystyle {\text{ev}}_{*}:{\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(K,{\textbf {Hom}}(X,Y))\to {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times K,Y)}$

合成マップに マップを送信する${\displaystyle f:K\to {\textbf {Hom}}(X,Y)}$

${\displaystyle X\times K\xrightarrow {1\times g} X\times {\textbf {Hom}}(X,Y)\xrightarrow {ev} Y}$

ここで、はn 単体に持ち上げられます。^ ${\displaystyle ev(x,f)=f(x,\iota _{n})}$${\displaystyle \iota _{n}\in {\text{Hom}}_{\Delta }([n],[n])}$${\displaystyle \Delta ^{n}}$

（カン）ファイブレーションと単体集合の包含が与えられると、ファイブレーションが存在する^{[4] pg 21}${\displaystyle p:X\to Y}$${\displaystyle i:K\hookrightarrow L}$

${\displaystyle {\textbf {Hom}}(L,X)\xrightarrow {(i^{*},p_{*})} {\textbf {Hom}}(K,X)\times _{{\textbf {Hom}}(K,Y)}{\textbf {Hom}}(L,Y)}$

（ここで、は単体集合のカテゴリにおける関数複素数に含まれる）可換図式から誘導される${\displaystyle {\textbf {Hom}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Hom}}(L,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(L,Y)\\i^{*}\downarrow &&\downarrow i^{*}\\{\textbf {Hom}}(K,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(K,Y)\end{matrix}}}$

ここで、は事前合成によって与えられる引き戻し写像であり、は事後合成によって与えられる押し出し写像である。特に、前のファイブレーションは、 およびがファイブレーションであることを意味する。 ${\displaystyle i^{*}}$${\displaystyle p_{*}}$${\displaystyle p_{*}:{\textbf {Hom}}(L,X)\to {\textbf {Hom}}(L,Y)}$${\displaystyle i^{*}:{\textbf {Hom}}(L,Y)\to {\textbf {Hom}}(K,Y)}$

フィブラント単体集合のホモトピー群は、それを実現する位相空間のホモトピー群と一致するように、角を使って組み合わせ的に定義することができます。カン複体と頂点 の場合、集合 は、特定の可換図に適合する単体集合の写像の集合として定義されます。${\displaystyle X}$${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$${\displaystyle \alpha :\Delta ^{n}\to X}$

${\displaystyle \pi _{n}(X,x)=\left\{\alpha :\Delta ^{n}\to X:{\begin{matrix}\Delta ^{n}&{\overset {\alpha }{\to }}&X\\\uparrow &&\uparrow x\\\partial \Delta ^{n}&\to &\Delta ^{0}\end{matrix}}\right\}}$

点にマッピングされるという事実は、標準単位球の商として球の定義に等しいことに注意してください。${\displaystyle \partial \Delta ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle B^{n}/\partial B^{n}}$

${\displaystyle B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||_{eu}\leq 1\}}$

群構造を定義するには、もう少し作業が必要です。基本的に、2 つのマップが与えられた場合、それらの加算を与えるような-単体が関連付けられます。このマップは、マップの単体ホモトピー類まで明確に定義され、群構造を与えます。さらに、グループはに対してアーベル的です。 に対して、それは頂点マップ のホモトピー類として定義されます。 ${\displaystyle \alpha ,\beta :\Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle \omega :\Delta ^{n+1}\to X}$${\displaystyle d_{n}\omega :\Delta ^{n}\to X}$${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \pi _{0}(X)}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$

モデルカテゴリを使用すると、任意の単体集合は、単体集合のホモトピーカテゴリにおいてホモトピー同値であるフィブラント置換を持つ。すると、のホモトピー群は次のように定義できる。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{n}(X,x):=\pi _{n}({\hat {X}},{\hat {x}})}$

ここで、 はから への持ち上げです。これらのフィブラント置換は、連鎖複体の分解（射影分解や平坦分解など）の位相的な類似物と考えることができます。 ${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$${\displaystyle {\hat {X}}}$

• モデルカテゴリー
• 単体ホモトピー理論
• 単純化されたカテゴリ
• 弱いカン複体（準カテゴリ、∞カテゴリとも呼ばれる）
• ∞-群
• 単体集合のファイブレーション

• 単体集合の初歩的な図解入門

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999).単体ホモトピー理論. バーゼル: バーゼル・ビルクハウザー. doi :10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-0348-9737-2. MR  1711612。
• メイ、J.ピーター（1992）[1967]。代数的位相幾何学における単体オブジェクト。シカゴ数学講義。シカゴ、イリノイ州：シカゴ大学出版局。ISBN 0-226-51180-4MR  1206474 。