サブカテゴリ

数学、特に圏論において、圏Cのサブカテゴリーとは、その対象がCの対象であり、その射がCの射であり、射の同一性と合成が同じであるカテゴリーSのことです。直感的には、 Cのサブカテゴリーは、Cからその対象と矢印の一部を「削除」することで得られるカテゴリーです。

Cをカテゴリとします。Cのサブカテゴリ Sは次のように与えられます 。

• Cのオブジェクトのサブコレクション（ob( S )と表記）
• Cの射のサブコレクション。hom( S ) と表記される。

そのような

• ob( S )の任意のXに対して、 _Xの恒等射はhom( S )に存在し、
• hom( S )のあらゆる射f  : X → Yに対して、ソースXとターゲットYの両方がob( S )に含まれ、
• hom( S )内の射fとgのあらゆるペアに対して、合成f o gは定義されるときはいつでもhom( S )内に存在する。

これらの条件は、S がそれ自体でカテゴリであることを保証します。つまり、オブジェクトのコレクションは ob( S )、射のコレクションは hom( S )、恒等写像と合成はCと同じです。オブジェクトと射を自分自身に取る 包含関数と呼ばれる、明らかな忠実な 関数 I  : S → Cがあります。

S をカテゴリC のサブカテゴリとします。Sの各オブジェクトXとYのペアに対して、

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y).}$

完全なサブカテゴリとは、Sのオブジェクト間のC内のすべての射を含むサブカテゴリです。 C内の任意のオブジェクトAのコレクションに対して、 A内のオブジェクトをオブジェクトとするCの唯一の完全なサブカテゴリが存在します。

• 有限集合のカテゴリは、集合のカテゴリの完全なサブカテゴリを形成します。
• オブジェクトが集合であり、射が全単射であるカテゴリは、集合のカテゴリの非完全なサブカテゴリを形成します。
• アーベル群のカテゴリは、群のカテゴリの完全なサブカテゴリを形成します。
• 環のカテゴリ（その射は単位保存環準同型）は、 rngのカテゴリの非完全なサブカテゴリを形成します。
• 体 Kに対して、 Kベクトル空間のカテゴリは、 (左または右) K加群のカテゴリの完全なサブカテゴリを形成します。

CのサブカテゴリSが与えられた場合、包含関手I  : S → C は忠実な関手であり、オブジェクトへの単射でもあります。Sが完全なサブカテゴリである 場合に限り、それは完全です。

一部の著者は、埋め込みを完全かつ忠実な関数として定義しています。このような関数は、同型性を除いてオブジェクトに対して必ず単射です。たとえば、米田埋め込みはこの意味での埋め込みです。

一部の著者は、埋め込みをオブジェクトに入射する完全かつ忠実な関数であると定義しています。^[1]

他の著者は、関数がオブジェクトに対して忠実かつ単射である場合、その関数を埋め込みであると定義しています。同様に、射に対して単射である場合、関数Fは埋め込みです。関数F は、完全関数であり埋め込みでもある場合、 完全埋め込みと呼ばれます。

前の段落の定義によれば、任意の（完全な）埋め込みF  : B → Cに対して、 Fの像はCの（完全な）サブカテゴリSであり、F はBとS の間にカテゴリの同型性を誘導します。Fがオブジェクトに対して単射でない場合、 Fの像はBと同等です。

いくつかのカテゴリでは、カテゴリの射が埋め込みであると言うこともできます。

CのサブカテゴリSは、 Y がSに含まれるようなCのすべての同型k ​​ : X → YがSにも属する場合、同型閉じまたは充足されていると言われます。同型閉じの完全なサブカテゴリは、厳密に完全であると言われます。

C のサブカテゴリがワイドまたはlluf (ピーター・フライド^[2]によって最初に提唱された用語)であるとは、 Cのすべてのオブジェクトが含まれている場合です。^[3]ワイドサブカテゴリは通常、完全ではありません。カテゴリの唯一のワイドフルサブカテゴリはそのカテゴリ自体です。

セール部分圏は、アーベル圏Cの空でない完全部分圏Sであり、すべての短完全列に対して

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

Cにおいて、M がSに属するのは、 とが 両方とも属する場合に限ります。この概念は、セールの C 理論から生じます。 ${\displaystyle M'}$${\displaystyle M''}$

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• 反射サブカテゴリ
• 正確なカテゴリ、拡張機能で閉じられた完全なサブカテゴリ。