終わり（圏論）

圏論では、関手の端とは、Xの対象eからSへの普遍的な二自然変換である。^[1]${\displaystyle S:\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }$

より明確に言えば、これはペア であり、e はXのオブジェクトであり、 は超自然変換であり、すべての超自然変換に対して、Cの すべてのオブジェクトaに対して、X の一意の射が存在することになります。 ${\displaystyle (e,\omega )}$${\displaystyle \omega :e{\ddot {\to }}S}$${\displaystyle \beta :x{\ddot {\to }}S}$${\displaystyle h:x\to e}$${\displaystyle \beta _{a}=\omega _{a}\circ h}$

言語の乱用により、オブジェクトeはしばしば関手Sの終点（忘れること）と呼ばれ、次のように書かれる。 ${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle e=\int _{c}^{}S(c,c){\text{ または単に }}\int _{\mathbf {C} }^{}S.}$

極限としての特徴付け：Xが完全でCが小さい場合、端は図の イコライザーとして記述できます。

${\displaystyle \int _{c}S(c,c)\to \prod _{c\in C}S(c,c)\rightrightarrows \prod _{c\to c'}S(c,c'),}$

ここで、等化される最初の射は によって誘導され、2 番目の射は によって誘導されます。 ${\displaystyle S(c,c)\to S(c,c')}$${\displaystyle S(c',c')\to S(c,c')}$

関数の共端の定義は、端の定義の双対です。 ${\displaystyle S:\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }\times \mathbf {C} \to \mathbf {X} }$

したがって、 Sの共端はペアで構成されます。ここで、 d はXのオブジェクトであり 、 は 超自然変換です。そのため、すべての超自然変換に対して、Cのすべてのオブジェクトaに対して、Xの一意の射が存在します 。 ${\displaystyle (d,\zeta )}$${\displaystyle \zeta :S{\ddot {\to }}d}$${\displaystyle \gamma :S{\ddot {\to }}x}$${\displaystyle g:d\to x}$${\displaystyle \gamma_{a}=g\circ\zeta_{a}}$

関数Sの共端 dは次のように書かれる。

${\displaystyle d=\int _{}^{c}S(c,c){\text{ または }}\int _{}^{\mathbf {C} }S.}$

共極限としての特徴づけ: 双対的に、Xが共完備でCが小さい場合、共極限は図の共等化子として記述できる。

${\displaystyle \int ^{c}S(c,c)\leftarrow \coprod _{c\in C}S(c,c)\leftleftarrows \coprod _{c\to c'}S(c',c).}$

• 自然な変換:

  関数があると仮定すると ${\displaystyle F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {X} }$

  ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {X} }(F(-),G(-)):\mathbf {C} ^{op}\times \mathbf {C} \to \mathbf {セット} }$。

  この場合、集合のカテゴリは完全であるため、等化子を形成するだけでよく、この場合、

  ${\displaystyle \int _{c}\mathrm {Hom} _{\mathbf {X} }(F(c),G(c))=\mathrm {Nat} (F,G)}$

  からへの自然変換。直感的には、 からへの自然変換は、適合条件を備えたカテゴリ内のすべての に対してからへの射です。末尾を定義するイコライザー図を見ると、同値性が明らかになります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F(c)}$${\displaystyle G(c)}$${\displaystyle c}$

• 幾何学的実現:

  を単体集合とします。つまり、は関手 です。離散位相は、 が位相空間のカテゴリである関手 を与えます。さらに、 の内部には、 のオブジェクトを標準の -単体に送る写像があります。最後に、 2 つの位相空間の積を取る 関手 があります。${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$${\displaystyle d:\mathbf {Set} \to \mathbf {Top} }$${\displaystyle \mathbf {トップ} }$${\displaystyle \gamma :\Delta \to \mathbf {Top} }$${\displaystyle [n]}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbf {Top} \times \mathbf {Top} \to \mathbf {Top} }$

  をこの積関数と の合成として定義します。の共端はの幾何学的実現です。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle dT\times \gamma }$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

• nラボで終了