挿入オブジェクト

数学、特に圏論の分野では、単射対象^{[ 1 ]}の概念は単射加群の概念の一般化である。この概念は、コホモロジー、ホモトピー理論、モデル圏の理論において重要である。双対概念は射影対象である。

物体​${\displaystyle Q}$あるカテゴリーで${\displaystyle \mathbf {C} }$は、すべての単射に対して が成り立つ場合に単射であると言われる。${\displaystyle f:X\to Y}$そしてすべての射${\displaystyle g:X\to Q}$射が存在する${\displaystyle h:Y\to Q}$拡張${\displaystyle g}$に${\displaystyle Y}$すなわち、${\displaystyle h\circ f=g}$[ ^{2 ]​}

つまり、すべての射${\displaystyle X\to Q}$すべての単射を通る因数${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$。

射${\displaystyle h}$上記の定義では、一意に決定される必要はありません。${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$。

局所的に小さな圏では、 hom ファンクターが${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(-,Q)}$単相写像を運ぶ${\displaystyle \mathbf {C} }$全射集合マップへ。

単射性の概念は、最初にアーベル圏に対して定式化され、これは今でもその主要な応用分野の一つである。${\displaystyle \mathbf {C} }$はアーベル圏であり、Qは${\displaystyle \mathbf {C} }$は、そのhom 関数Hom _C ( – , Q ) が完全である場合に限り単射である。

もし${\displaystyle 0\to Q\to U\to V\to 0}$は正確な数列です${\displaystyle \mathbf {C} }$Qが単射である場合、数列は分割される。

カテゴリー${\displaystyle \mathbf {C} }$は、すべての対象Xに対して、十分な単射を持つと言われます。${\displaystyle \mathbf {C} }$Xから単射対象への単射写像が存在する。

単射g​${\displaystyle \mathbf {C} }$は、任意の射fに対して、合成fgが単射であるのはfが単射である場合に限る場合、本質的単射と呼ばれる。

gが定義域Xと単射終域Gを持つ本質的単射である場合、GはXの単射包と呼ばれます。単射包は、非標準同型を除いてXによって一意に決定されます。 ^{[ 2 ]}

• アーベル群と群準同型の圏Abにおいて、単射対象は必ず可除群である。選択公理を仮定すれば、これらの概念は同値である。
• （左）加群と加群準同型の圏R - Modにおいて、単射対象は単射加群である。R - Mod は単射包を持つ（結果として、R - Modは十分な単射を持つ）。
• 距離空間のカテゴリーMet では、単射オブジェクトは単射距離空間であり、距離空間の単射包はそのタイトスパンである。
• T ₀空間と連続写像のカテゴリーでは、単射オブジェクトは常に連続格子上のスコット位相であり、したがって常にソバーかつ局所コンパクトである。

アーベル圏に十分な数の単射が存在する場合、単射分解を構成できます。つまり、与えられた対象Xに対して、長完全列を構成できます。

${\displaystyle 0\to X\to Q^{0}\to Q^{1}\to Q^{2}\to \cdots }$

そして、与えられたファンクターFの派生ファンクターは、このシーケンスにFを適用し、結果として得られる (必ずしも完全ではない) シーケンスのホモロジーを計算することによって定義できます。このアプローチは、 ExtおよびTorファンクター、ならびに群論、代数トポロジー、および代数幾何学におけるさまざまなコホモロジー理論を定義するために使用されます。使用されるカテゴリは、通常、ファンクターカテゴリ、または何らかの環付き空間( X、O _{X ) 上の}O _X加群の層のカテゴリ、あるいはより一般的には任意のグロタンディークカテゴリです。

させて${\displaystyle \mathbf {C} }$カテゴリにして$\displaystyle {\mathcal {H}}}$射のクラスである${\displaystyle \mathbf {C} }$。

物体${\displaystyle Q}$の${\displaystyle \mathbf {C} }$と言われている$\displaystyle {\mathcal {H}}}$すべての射に対して単射である${\displaystyle f:A\to Q}$そしてすべての射${\displaystyle h:A\to B}$で$\displaystyle {\mathcal {H}}}$射が存在する${\displaystyle g:B\to Q}$と${\displaystyle g\circ h=f}$。

もし$\displaystyle {\mathcal {H}}}$は単射のクラスであり、上で扱った単射オブジェクトに戻ります。

カテゴリー${\displaystyle \mathbf {C} }$十分な$\displaystyle {\mathcal {H}}}$-すべてのオブジェクトXに対して、${\displaystyle \mathbf {C} }$存在する$\displaystyle {\mathcal {H}}}$XからX への射$\displaystyle {\mathcal {H}}}$- 単射オブジェクト。

A$\displaystyle {\mathcal {H}}}$-射gにおいて${\displaystyle \mathbf {C} }$と呼ばれる$\displaystyle {\mathcal {H}}}$任意の射fに対して、合成fgが に含まれる場合、それは必須である。$\displaystyle {\mathcal {H}}}$fが​$\displaystyle {\mathcal {H}}}$。

gが a の場合$\displaystyle {\mathcal {H}}}$-ドメインXと本質的な射と$\displaystyle {\mathcal {H}}}$-単射な終域Gの場合、Gは$\displaystyle {\mathcal {H}}}$-Xの射影包絡線。^{[ 2 ]}

• 投影オブジェクト

• Jiri Adamek、Horst Herrlich、George Strecker。「抽象的および具体的なカテゴリー：猫の喜び」、第9章「挿入対象と本質的埋め込み」、 Reprints and Applications of Categories、No. 17 (2006) pp. 1-507 、Wiley (1990)に再掲載。
• J. ロシッキー、「挿入性とアクセス可能なカテゴリ」
• F. カリアリとS. モントヴァーニ、「T ₀反射とファイバー空間の射影包絡線」