サブオブジェクト

数学の一分野である圏論において、サブオブジェクトとは、大まかに言えば、同じ圏に属する別のオブジェクトの内側に位置するオブジェクトのことである。この概念は、集合論のサブセット、群論のサブグループ、^[1]、位相幾何学のサブスペースなどの概念を一般化したものである。オブジェクトの詳細な構造は圏論では重要ではないため、サブオブジェクトの定義は、要素の使用に依存するのではなく、1つのオブジェクトが別のオブジェクトの内側に位置する方法を記述する射に依存している。

サブオブジェクトの双対概念は商オブジェクト。これは、商集合、商群、商空間、商グラフなど の概念を一般化します

「サブオブジェクト」の適切なカテゴリ定義は、目的に応じてコンテキストによって異なる場合があります。一般的な定義の 1 つは次のとおりです。

詳しくは、何らかのカテゴリの対象を仮定する。2つの単射が与えられたとき${\displaystyle A}$

${\displaystyle u:S\to A\ {\text{and}}\ v:T\to A}$

共役領域 の場合、との 同型が存在する場合、による同値関係を定義します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle u\equiv v}$${\displaystyle \phi :S\to T}$${\displaystyle u=v\circ \phi }$

同様に、が を因数分解する場合、つまり となる が存在する場合、と書きます。によって定義される 二項関係は、${\displaystyle u\leq v}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle \phi :S\to T}$${\displaystyle u=v\circ \phi }$${\displaystyle \equiv}$

${\displaystyle u\equiv v\iff u\leq v\ {\text{and}}\ v\leq u}$

は、共形 を持つ単射上の同値関係であり、これらの単射の対応する同値類はの部分オブジェクトです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

関係 ≤ は、のサブオブジェクトのコレクションに半順序を誘導します。 ${\displaystyle A}$

あるオブジェクトのサブオブジェクトのコレクションは、実際には適切なクラスである可能性があります。これは、与えられた議論がいくぶん曖昧であることを意味します。すべてのオブジェクトのサブオブジェクトのコレクションが集合 である場合、そのカテゴリはwell-poweredまたは、まれに、locally smallと呼ばれます(これは、 locally smallという用語の別の用法、つまり、任意の 2 つのオブジェクト間に射の集合が存在するという用法と衝突します)。

商オブジェクトの双対概念を取得するには、上記の「単射」を「エピモーフィズム」に置き換え、矢印を逆にします。A の商オブジェクトは、ドメインAを持つエピモーフィズムの同値クラスになります。

しかし、いくつかの文脈では、これらの定義は、十分に確立されたサブオブジェクトまたは商オブジェクトの概念と一致しないため、不十分です。位相空間のカテゴリでは、単射はまさに入射連続関数です。ただし、すべての入射連続関数がサブスペース埋め込みであるわけではありません。環のカテゴリでは、包含はエピモーフィズムですが、両側イデアルによる商ではありません。任意の入射関数や稠密な像を持つマップとしてではなく、サブオブジェクトの埋め込みや商のように真に動作するマップを取得するには、追加の仮説を満たす単射とエピモーフィズムに制限する必要があります。したがって、「サブオブジェクト」をいわゆる「正規単射」（2つの射の等化子として表現できる単射）の同値類として定義し、「商オブジェクト」を「正規エピモーフィズム」（2つの射の共等化子として表現できる射）の同値類として定義することができます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

この定義は、圏論の外部におけるサブオブジェクトの通常の理解に対応する。圏の対象が集合（群構造などの追加の構造を持つ場合もある）であり、射が集合関数（追加の構造を保存する）である場合、単射はその像の観点から考えられる。単射の同値類は、その類内の各単射の像によって決定される。つまり、オブジェクトTへの 2 つの単射fとg は、それらの像がTの同じサブセット（したがって、サブオブジェクト）である場合に限り、同値である。その場合、それらのドメインの同型性があり、その下ではドメインの対応する要素がそれぞれfとgによってTの同じ要素にマップされます。これが同値の定義を説明します。 ${\displaystyle g^{-1}\circ f}$

集合のカテゴリであるSetでは、 Aの部分対象はAの部分集合Bに対応し、あるいはむしろ、Bと同値な集合からの画像がすべてBとなる集合に対応します。 Setにおける集合の部分対象半順序は、その部分集合格子に相当します。

グループのカテゴリGrpでは、AのサブオブジェクトはAのサブグループに対応します。

半順序クラス P = ( P , ≤ )が与えられた場合、 Pの要素をオブジェクトとしてカテゴリを形成し、 p ≤ qの場合に限り、 pからqへの単一の矢印を形成できます。Pに最大要素がある場合、この最大要素の部分オブジェクト半順序はP自身になります。これは、そのようなカテゴリのすべての矢印が単射になるためです。

終端オブジェクトのサブオブジェクトはサブ終端オブジェクトと呼ばれます。

• サブオブジェクト分類子
• サブ商

• Mac Lane, Saunders (1998)、「Categories for the Working Mathematician」、Graduate Texts in Mathematics、第 5 巻 (第 2 版)、ニューヨーク、NY: Springer-Verlag、ISBN 0-387-98403-8、Zbl  0906.18001
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter 編 (2004)。カテゴリカル基礎。順序、位相、代数、層理論に関する特別なトピック。数学とその応用百科事典。第 97 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83414-7.ZBL1034.18001  。​