フリーオブジェクト

数学において、自由オブジェクトの概念は抽象代数の基本概念の 1 つです。非公式には、集合A 上の自由オブジェクトは、 A上の「一般的な」代数構造であると考えることができます。つまり、自由オブジェクトの要素間で成立する方程式は、代数構造の定義公理から得られる方程式のみです。例としては、自由群、テンソル代数、自由格子などがあります。

この概念は、あらゆるタイプの代数構造（有限演算を含む）に関連するという意味で、普遍代数の一部です。また、より抽象的な用語ではありますが、 カテゴリー理論の観点から定式化されています。

自由オブジェクトは、ベクトル空間の基底の概念のカテゴリへの直接的な一般化です。ベクトル空間間の線形関数u  : E ₁ → E _{2は、ベクトル空間}E ₁の基底上の値によって完全に決定されます。次の定義は、これを任意のカテゴリに変換します。

具象カテゴリは、集合のカテゴリであるSetへの忠実な関数を持つカテゴリです。C を忠実な関数U  : C → Set を持つ具象カテゴリとします。X を集合 (つまり、Set内のオブジェクト) とし、これが定義される自由オブジェクトの基礎となります。 X上の自由オブジェクトは、 C内のオブジェクトと、次の普遍的性質を満たす射影(標準射影と呼ばれる)のペアです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle i:X\to U(A)}$

C内の任意のオブジェクトBと集合間の任意の写像に対して、となる唯一の射がC内に存在します。つまり、次の図は可換です。${\displaystyle g:X\to U(B)}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle g=U(f)\circ i}$

Cに自由対象が存在する場合、普遍性は、 2つの集合間のすべての写像が、それらの上に構築された自由対象間の一意の射を誘導することを意味し、これは関手を定義します。したがって、Cに自由対象が存在する場合、自由関手と呼ばれる関手Fは忠実な関手Uの左随伴であり、つまり、一対一である。 ${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,U(B))\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(F(X),B).}$

自由オブジェクトの作成は 2 つのステップで進行します。結合法則に従う代数の場合、最初のステップは、アルファベットから形成されるすべての可能な単語のコレクションを検討することです。次に、一連の同値関係を単語に課します。ここで、関係は、手元の代数オブジェクトの定義関係です。すると、自由オブジェクトは、一連の同値クラスで構成されます。

たとえば、 2 つのジェネレータにおける自由群の構築について考えてみましょう。5 つの文字からなるアルファベットから始めます。最初のステップでは、「文字」またはにはまだ意味が割り当てられていません。これらは、後で 2 番目のステップで与えられます。したがって、5 つの文字からなるアルファベット、つまり から始めてもかまいません。この例では、すべての単語または文字列の集合には、aebecedeやabdcなどの任意の有限長の文字列が含まれ、文字はあらゆる順序で並べられます。 ${\displaystyle \{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle b^{-1}}$${\displaystyle S=\{a,b,c,d,e\}}$${\displaystyle W(S)}$

次のステップでは、同値関係の集合を課す。群の同値関係は、恒等関数の乗算、および逆関数の乗算である。これらの関係を上記の文字列に適用すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle ge=eg=g}$${\displaystyle gg^{-1}=g^{-1}g=e}$

${\displaystyle aebecede=aba^{-1}b^{-1},}$

ここで、 はの代わりであり、 はの代わりであり、は恒等元である と理解されていた。同様に、${\displaystyle c}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle b^{-1}}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.}$

同値関係または合同を で表すと、自由対象は単語の同値類の集合となる。したがって、この例では、2つの生成子の自由群は商${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle F_{2}=W(S)/\sim .}$

これは、グループを定義する関係が課された後の、すべての単語の集合であり、恒等式の同値類である、と 記述されることがよくあります。${\displaystyle F_{2}=W(S)/E}$${\displaystyle W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$

より単純な例としては、自由モノイドがあります。集合X上の自由モノイドは、 X をアルファベットとして使用し、文字列の連結操作を伴うすべての有限文字列のモノイドです。単位元は空の文字列です。本質的に、自由モノイドは、同値関係が課されていないすべての単語の集合にすぎません。この例は、クリーネスターに関する記事でさらに詳しく説明されています。

一般的なケースでは、代数関係は結合的である必要はなく、その場合、開始点はすべての単語の集合ではなく、むしろ括弧で区切られた文字列であり、これは文字の非結合的なグループを示すために使用されます。このような文字列は、バイナリ ツリーまたはフリー マグマで同等に表現できます。ツリーの葉はアルファベットの文字です。

代数的関係は、木の葉の上の一般的なアリティまたは有限関係である可能性があります。すべての可能な括弧付き文字列のコレクションから始めるよりも、エルブラン宇宙から始める方が便利な場合があります。自由オブジェクトの内容を適切に記述または列挙することは、問題となっている特定の代数的オブジェクトに応じて、簡単または難しい場合があります。たとえば、2つのジェネレータ内の自由グループは簡単に記述できます。対照的に、複数のジェネレータ内の自由ヘイティング代数の構造についてはほとんど、またはまったくわかっていません。 ^[1] 2つの異なる文字列が同じ同値クラスに属するかどうかを判断する問題は、単語問題として知られています。

例が示唆するように、自由オブジェクトは構文から構築されたように見えます。構文の主な使用法は自由オブジェクトとして説明および特徴付けることができ、明らかに重い「句読点」を説明可能にする（そしてより記憶に残りやすい）方法で、ある程度これを逆転させることができます。^{[説明が必要]}

を集合、を によって生成される型の代数構造とします。この代数構造 の基礎となる集合は、しばしばその宇宙と呼ばれ、 で表されます。を関数とします。次の普遍的性質が成り立つ場合、 (または非公式には単に) は自由生成子の集合上の型の自由代数であるといいます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi :S\to A}$${\displaystyle (A,\psi )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S}$

型 のあらゆる代数と（ は の宇宙） のあらゆる関数に対して、次の図が可換となるような 一意の準同型が存在します。${\displaystyle B}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \tau :S\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma :A\to B}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}S&\xrightarrow {\psi } &A\\&\searrow _{\tau }&\downarrow ^{\sigma }\\&&B\ \end{array}}}$

これは、次のことを意味します。 ${\displaystyle \sigma \circ \psi =\tau }$

自由オブジェクトの最も一般的な設定は、圏論であり、そこでは忘却関手の左随伴関数である自由関手が定義されます。

代数構造のカテゴリCを考えてみましょう。オブジェクトは、いくつかの法則に従う、セットと演算の組み合わせとして考えることができます。このカテゴリには、関数 、忘却関数があり、これはC内のオブジェクトと射を、セットのカテゴリであるSetにマッピングします。忘却関数は非常に単純で、すべての演算を無視するだけです。 ${\displaystyle U:\mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$

自由関数F は、存在する場合、 Uの左随伴関数です。つまり、Set内の集合X をカテゴリC内の対応する自由オブジェクトF ( X ) に変換します。集合X は、自由オブジェクトF ( X )の「生成元」の集合と考えることができます。 ${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$

自由関手が左随伴であるためには、Set -写像も持たなければなりません。より明確に言えば、Fは、 Cの同型を除いて、次の普遍的性質によって特徴付けられます。 ${\displaystyle \eta _{X}:X\to U(F(X))\,\!}$

B がCの代数であり、 が関数（集合のカテゴリ内の射）であるときはいつでも、となる唯一のC射が存在します。${\displaystyle g\colon X\to U(B)}$${\displaystyle f\colon F(X)\to B}$${\displaystyle g=U(f)\circ \eta _{X}}$

具体的には、これは集合をその集合上の自由オブジェクトに送ります。これは「基底の包含」です。表記法の乱用です（これは表記法の乱用です。なぜなら、 X は集合ですが、F ( X ) は代数だからです。正しくは、です）。 ${\displaystyle X\to F(X)}$${\displaystyle X\to U(F(X))}$

自然変換は 単位と呼ばれ、余単位と組み合わせてT 代数、つまりモナドを構築することができます。 ${\displaystyle \eta :\operatorname {id} _{\mathbf {Set} }\to UF}$ ${\displaystyle \varepsilon :FU\to \operatorname {id} _{\mathbf {C} }}$

共自由関数は忘却関数の 右随伴関数です。

適用される一般的な存在定理があり、その最も基本的な定理は次のことを保証する。

C が多様体であるときは、すべての集合Xに対してC内に自由対象F ( X )が存在します。

ここで、多様体は有限代数カテゴリの同義語であり、したがって関係の集合は有限であり、Set上でモナド的であるため代数的であることを意味します。

他の種類の忘却も、必ずしも集合ではなく忘却関手に左随伴する点で、自由オブジェクトと非常によく似たオブジェクトを生み出します。

たとえば、ベクトル空間上のテンソル代数構成は、代数構造を無視する結合代数上の関数の左随伴です。そのため、自由代数とも呼ばれます。同様に、対称代数と外積代数は、ベクトル空間上の自由な対称代数と反対称代数です。

具体的な無料オブジェクトの種類は次のとおりです。

• 自由代数
  • 自由結合代数
  • 自由可換代数
• 無料カテゴリー
  • 自由厳密モノイドカテゴリ
• フリーグループ
  • 自由アーベル群
  • 自由部分可換群
• 無料のクリーネ代数
• 自由格子
  • 無料のブール代数
  • 自由分配格子
  • 無料のHeyting代数
  • 自由モジュラー格子
• 自由リー代数
• フリーマグマ
• 自由モジュール、特にベクトル空間
• 自由モノイド
  • 自由可換モノイド
  • 自由部分可換モノイド
• フリーリング
• 自由半群
• フリーセミリング
  • 自由可換半環
• 自由理論
• 項代数
• 離散空間

• 発電セット

• nLabの場合: 自由関数、自由オブジェクト、ベクトル空間