デカルト座標系におけるファイブレーション

数学、特にホモトピー理論において、デカルトファイブレーションは、おおよそ、すべてのリフトの中で終対象となるすべてのリフトが存在するような写像である。例えば、忘却関手

${\displaystyle {\textrm {QCoh}}\to {\textrm {Sch}}}$

ペアのカテゴリーから${\displaystyle (X,F)}$スキームとそれらの上の準コヒーレント層の集合は、デカルトファイブレーションです（§ 基本例を参照）。実際、グロタンディーク構成によれば、すべてのデカルトファイブレーションはこのタイプです。つまり、余分なデータを忘れるだけです。参照:ファイバー圏、プレスタック。

デカルトファイブレーションの双対はop-ファイブレーションと呼ばれ、特にコデカルトファイブレーションではない。

単体集合間の右ファイブレーションは、デカルトファイブレーションの一例である。

ファンクターが与えられた場合${\displaystyle \pi :C\to S}$射${\displaystyle f:x\to y}$で${\displaystyle C}$と呼ばれる${\displaystyle \pi }$-デカルト座標系、または単にデカルト座標系（自然地図の場合）

${\displaystyle (f_{*},\pi ):\operatorname {Hom} (z,x)\to \operatorname {Hom} (z,y)\times _{\operatorname {Hom} (\pi (z),\pi (y))}\operatorname {Hom} (\pi (z),\pi (x))}$

は全単射である。^{[ 1 ] [ 2 ]}具体的には、${\displaystyle f:x\to y}$与えられた場合はデカルト座標です

• ${\displaystyle g:z\to y}$そして
• ${\displaystyle u:\pi (z)\to \pi (x)}$

と${\displaystyle \pi (g)=\pi (f)\circ u}$ユニークな${\displaystyle g':z\to x}$で$\displaystyle \pi ^{-1}(u)}$そのため${\displaystyle f\circ g'=g}$。

それから${\displaystyle \pi }$の各射に対して、 がデカルトファイブレーションである。${\displaystyle f:s\to \pi (z)}$Sには、${\displaystyle \pi }$-デカルト射${\displaystyle g:a\to z}$Cにおいて​${\displaystyle \pi (g)=f}$[ ^{3 ]}ここで、対象物^は${\displaystyle a}$一意同型を除いて一意です（もし${\displaystyle b\to z}$別のリフトがあり、ユニークな${\displaystyle b\to a}$これは同型であることが示されています）。このため、オブジェクト${\displaystyle a}$は、${\displaystyle z}$そして時には次のように表記されることもある${\displaystyle f^{*}z}$[ ^{4 ]}また、非公式には^、${\displaystyle g}$は、すべてのリフトの中で最終目標であると言われています。${\displaystyle f}$。

射${\displaystyle \varphi$ :\pi \to \rho } は、 同じ基底S上のデカルトファイブレーション間の写像 (関数) であり、${\displaystyle \pi =\rho \circ \varphi }$これは、デカルト射をデカルト射に送る。^{[ 5 ]}与えられた${\displaystyle \varphi ,\psi$ :\pi \to \rho } 、2-射${\displaystyle \theta$ :\varphi \rightarrow \psi } は可逆写像 (写像 =自然変換) であり、各オブジェクトに対して次の式が成り立つ。${\displaystyle E}$源泉において${\displaystyle \pi }$、${\displaystyle \theta _{E}:\varphi (E)\to \psi (E)}$オブジェクトの同一性マップにマッピングする${\displaystyle \rho (\varphi (E))=\rho (\psi (E))}$下${\displaystyle \rho }$。

このようにして、固定基底カテゴリS上のすべてのデカルトファイブレーションは、(2, 1)-カテゴリを決定します。${\displaystyle \operatorname {カート} (S)}$[ ^{6 ]​}

させて${\displaystyle \operatorname {QCoh} }$カテゴリーは

• オブジェクトはペアです${\displaystyle (X,F)}$計画の${\displaystyle X}$そして準コヒーレント層${\displaystyle F}$その上で、
• 射${\displaystyle {\overline {f}}:(X,F)\to (Y,G)}$射から構成される${\displaystyle f:X\to Y}$スキームと層準同型${\displaystyle \varphi _{f}:f^{*}G{\overset {\sim }{\to }}F}$の上${\displaystyle X}$、
• 構成$\displaystyle {\overline {g}}\circ {\overline {f}}}$の${\displaystyle {\overline {g}}:(Y,G)\to (Z,H)}$およびそれ以上${\displaystyle {\overline {f}}}$（唯一の）射は${\displaystyle {\overline {h}}}$そのため${\displaystyle h=g\circ f}$そして${\displaystyle \varphi _{h}}$は

  ${\displaystyle (g\circ f)^{*}H\simeq f^{*}g^{*}H{\overset {f^{*}\varphi _{g}}{\to }}f^{*}G{\overset {\varphi _{f}}{\to }}F.}$

忘れられた地図を見る

${\displaystyle \pi$ :\operatorname {QCoh} \to \operatorname {Sch} }

はデカルトファイブレーションである、^{[ 7 ]}とする${\displaystyle f:X\to \pi ((Y,G))}$いる${\displaystyle \operatorname {QCoh} }$。 取る

${\displaystyle {\overline {f}}=(f,\varphi _{f}):(X,F)\to (Y,G)}$

と${\displaystyle F=f^{*}G}$そして${\displaystyle \varphi _{f}=\operatorname {id} }$私たちは主張します${\displaystyle {\overline {f}}}$デカルト座標系です。${\displaystyle {\overline {g}}:(Z,H)\to (Y,G)}$そして${\displaystyle h:Z\to X}$と${\displaystyle g=f\circ h}$、 もし${\displaystyle \varphi _{h}}$が存在して、${\displaystyle {\overline {g}}={\overline {f}}\circ {\overline {h}}}$すると、${\displaystyle \varphi _{g}}$は

${\displaystyle (f\circ h)^{*}G\simeq h^{*}f^{*}G=h^{*}F{\overset {\varphi _{h}}{\to }}H.}$

つまり、必要な${\displaystyle {\overline {h}}}$自明に存在し、かつ一意である。

一部の著者は、${\displaystyle \operatorname {QCoh} ^{\simeq }}$、その核心は${\displaystyle \operatorname {QCoh} }$その代わりに。その場合、それに限定された忘却マップもまたデカルトファイブレーションである。

あるカテゴリが与えられた場合${\displaystyle S}$グロタンディーク構成は、∞-圏間の同値性を与える。${\displaystyle \operatorname {Cart} (S)}$そして、プレスタックの∞-カテゴリ${\displaystyle S}$(prestacks = カテゴリー値を持つ前層)。^{[ 8 ]}

大まかに言うと、構成は次のようになります。デカルトファイブレーションが与えられた場合${\displaystyle \pi }$私たちは${\displaystyle F_{\pi }:S^{op}\to {\textbf {Cat}}}$S内の各オブジェクトxをファイバーに送信するマップとする${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$。 それで、${\displaystyle F_{\pi }}$は${\displaystyle {\textbf {Cat}}}$-値のプレシーフまたはプレスタック。逆に、プレスタックが与えられた場合${\displaystyle F}$カテゴリを定義する${\displaystyle C_{F}}$オブジェクトはペアである${\displaystyle (x,a)}$と${\displaystyle a\in F(x)}$そして${\displaystyle \pi }$忘れっぽい関数になる${\displaystyle S}$すると、これら2つの割り当てによって、主張されている等価性が得られる。

例えば、この構文が物忘れの激しい人に適用された場合${\displaystyle \pi$ :{\textrm {QCoh}}\to {\textrm {Sch}}} の場合 、次のマップが得られます。${\displaystyle X\mapsto {\textrm {QCoh}}(X)}$それは計画を送信する${\displaystyle X}$準連接層のカテゴリーへ${\displaystyle X}$逆に、${\displaystyle \pi }$それは、そのような地図によって決定される。

Lurieの直線化定理は、上記の等価性を、ある∞-圏C上のデカルトファイブレーションの∞-圏とC上の∞-プレスタックの∞-圏との間の等価性に一般化している。^{[ 9 ]}

• ファイバーカテゴリ

• Khan, Adeel A. (2022). 「代数スタックの現代的入門」。
• 「ケロドン」
• Mazel-Gee, Aaron (2015). "共/デカルトファイブレーションのユーザーガイド". arXiv : 1510.02402 [ math.CT ].
• Vistoli, Angelo (2008年9月2日). 「グロタンディーク位相、ファイバー圏、降下理論に関するノート」(PDF) .

• https://ncatlab.org/nlab/show/Cartesian+fibration
• https://ncatlab.org/nlab/show/Cartesian+morphism
• https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration