深谷部門

シンプレクティック位相幾何学において、シンプレクティック多様体の深谷カテゴリは、そのオブジェクトがのラグランジアン部分多様体であり、射がラグランジアンフレアー連鎖群であるカテゴリ です。そのより細かい構造は、 A _∞ -カテゴリとして記述できます。 ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {ホム} (L_{0},L_{1})=CF(L_{0},L_{1})}$

これらは、モースホモロジーの文脈で最初に言語を導入した深谷健二にちなんで名付けられ、^[1]多くの変種が存在します。深谷カテゴリはA _∞ -カテゴリであるため、関連する導来カテゴリがあり、これはマキシム・コンツェビッチの有名なホモロジーミラー対称性予想の対象となっています 。^[2]この予想は現在、いくつかの例で計算的に検証されています。 ${\displaystyle A_{\infty}}$

をシンプレクティック多様体とする。横断的に交差するラグランジアン部分多様体の各ペアに対して、交差点 によって生成されるモジュールであるフロアーコチェーン複体を定義する。フロアーコチェーン複体は、 からへの射の集合として見られる。深谷カテゴリはカテゴリであり、通常の合成に加えて、より高次の合成マップが存在することを意味する。 ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle L_{0},L_{1}\subset X}$${\displaystyle CF^{*}(L_{0},L_{1})}$${\displaystyle L_{0}\cap L_{1}}$${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle A_{\infty}}$

${\displaystyle \mu _{d}:CF^{*}(L_{d-1},L_{d})\otimes CF^{*}(L_{d-2},L_{d-1}) \otimes \cdots \otimes CF^{*}(L_{1},L_{2})\otimes CF^{*}(L_{0},L_{1})\to CF^{*}(L_{0},L_{d}).}$

これは次のように定義されます。シンプレクティック多様体上の互換性のあるほぼ複素構造を 選択します。共鎖複体のジェネレータとに対して、各面が にマップされた面を持つ -正則多角形のモジュライ空間 は、${\displaystyle J}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle p_{d-1,d}\in CF^{*}(L_{d-1},L_{d}),\ldots ,p_{0,1}\in CF^{*}(L_{0},L_{1})}$${\displaystyle q_{0,d}\in CF^{*}(L_{0},L_{d})}$${\displaystyle J}$${\displaystyle d+1}$${\displaystyle L_{0},L_{1},\ldots ,L_{d}}$

${\displaystyle n(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1};q_{0,d})}$

係数環に定義する。

${\displaystyle \mu_{d}(p_{d-1,d},\ldots,p_{0,1})=\sum_{q_{0,d}\inL_{0}\capL_{d}}n(p_{d-1,d},\ldots,p_{0,1})\cdotq_{0,d}\inCF^{*}(L_{0},L_{d})}$

そして多線的に拡張します。 ${\displaystyle \mu_{d}}$

高次の合成のシーケンスは、正則多角形のさまざまなモジュライ空間の境界が退化した多角形の構成に対応するため、関係を 満たします。${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,}$${\displaystyle A_{\infty}}$

一般（コンパクト）シンプレクティック多様体に対する深谷カテゴリのこの定義は、これまで厳密に与えられたことはありません。主な課題は、正則ディスクの数え方を定義する上で不可欠な横断性の問題です。

• ホモトピー結合代数

• Denis Auroux、深谷カテゴリーの初心者向け入門。

• ポール・ザイデル、深谷カテゴリーとピカール・レフシェッツ理論。チューリッヒ上級数学講義
• 深谷 健二、呉 容根、太田 博、小野 薫(2009)、「ラグランジアン交差フローアー理論：異常と障害」第 1 部、AMS/IP 先端数学研究、第 46 巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、International Press、サマービル、マサチューセッツ州、ISBN 978-0-8218-4836-4、MR  2553465
• 深谷 健二、呉 容根、太田 博、小野 薫 (2009)、「ラグランジアン交差フローアー理論：異常と障害」第 2 部、AMS/IP 先端数学研究、第 46 巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、International Press、サマービル、マサチューセッツ州、ISBN 978-0-8218-4837-1、MR  2548482

• MathOverflowのスレッド 「深谷カテゴリは「定義」されていますか?」