距離空間のカテゴリ

圏論において、Met は計量空間をその対象とし、計量写像(対距離を増加させない計量空間間の連続関数) をその射とする圏である。2 つの計量写像の合成もまた計量写像となるため、これは圏である。これは Isbell (1964) によって初めて考えられた。

Metの単射写像は、入射的な計量写像です。エピモーフィズムは、写像の定義域が範囲に稠密な像を持つ計量写像です。同型写像は、等長写像、つまり、入射的、全射的、かつ距離保存的な計量写像です。

一例として、有理数を実数に含めることは単射でありエピモーフィズムでもあるが、明らかに同型ではない。この例は、Metがバランスのとれたカテゴリではないことを示している。

空の距離空間はMetの初期オブジェクトです。任意のシングルトンの距離空間は終端オブジェクトです。初期オブジェクトと終端オブジェクトは異なるため、 Metにはゼロオブジェクトは存在しません。

Metの入射的オブジェクトは、入射的計量空間と呼ばれます。入射的計量空間は、Metがカテゴリとして研究される前に、Aronszajn と Panitchpakdi (1956) によって初めて導入され、研究されました。また、計量球のHelly 特性によって本質的に定義されることがあり、この別の定義から Aronszajn と Panitchpakdi はこれらの空間を超凸空間と名付けました。任意の計量空間には、等長的に埋め込むことができる最小の入射的計量空間があり、これを計量エンベロープまたはタイトスパンと呼びます。

Metにおける距離空間の有限集合の積は、その点として空間の直積を持つ距離空間です。積空間の距離は、基本空間の距離の上限によって与えられます。つまり、これは上限ノルムを持つ積計量です。ただし、距離空間の無限集合の積は存在しない可能性があります。これは、基本空間の距離が上限を持たない可能性があるためです。つまり、Met は完全なカテゴリではありませんが、有限完全です。Metには余積はありません。

忘却関手 Met → Setは、各計量空間にその点の基礎集合を割り当て、各計量写像に基礎集合論的関数を割り当てます。この関手は忠実であるため、Metは具体的なカテゴリです。

Met は距離空間を対象とする唯一のカテゴリではありません。他のカテゴリには、一様連続関数のカテゴリ、リプシッツ関数のカテゴリ、準リプシッツ写像のカテゴリが含まれます。距離写像は一様連続かつリプシッツであり、リプシッツ定数は最大で 1 です。

• 群のカテゴリ – 群のカテゴリと群準同型フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 集合のカテゴリ – 対象が集合である数学のカテゴリ
• 位相空間のカテゴリ – オブジェクトが位相空間であり、その射が連続写像であるカテゴリフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 基点を持つ位相空間のカテゴリ – 区別された点を持つ位相空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 位相ベクトル空間のカテゴリ – 位相カテゴリ

• Aronszajn, N. ; Panitchpakdi, P. (1956)、「一様連続変換と超凸距離空間の拡張」、Pacific Journal of Mathematics、6 (3): 405– 439、doi : 10.2140/pjm.1956.6.405。
• Deza, Michel Marie ; Deza, Elena (2009)、「距離空間のカテゴリ」、Encyclopedia of Distances、Springer-Verlag、p. 38、ISBN 9783642002342。
• イズベル、JR (1964)、「単射距離空間に関する6つの定理」、Comment. Math. Helv.、39 (1): 65– 76、doi :10.1007/BF02566944、S2CID  121857986。