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数学、特に群論において、自由積は、2つの群 GとH を取って新しい群G ∗ Hを構築する操作です。 結果には、GとH の両方が部分群として含まれ、これらの部分群の元によって生成され、これらの特性を持つ「普遍」群であり、つまり、GとHから群Kへの任意の2つの準同型は、 G ∗ HからKへの準同型を介して一意に因数分解されます。群GとHのいずれかが自明でない限り、自由積は常に無限大です。自由積の構築は、自由群(与えられた生成子セットを持つ普遍群)の構築と精神的に似ています。

自由積は、群のカテゴリにおける余積です。つまり、自由積は、集合論における不連続和や、加群理論における直和と同じ役割を群論で果たします。群が可換であっても、2つの群のうちの1つが自明群でない限り、自由積は可換ではありません。したがって、自由積は、アーベル群のカテゴリにおける余積ではありません。

自由積は、交差もパス連結である2 つのパス連結位相空間の和の基本群は、常にその空間の基本群の融合自由積であると述べるファン・カンペンの定理のため、代数的位相幾何学において重要である。特に、 2 つの空間のくさび和(つまり、2 つの空間を 1 点で結合して得られる空間) の基本群は、ザイフェルト ファン・カンペンの定理で与えられた特定の条件下では、空間の基本群の自由積である。

自由積は、自己同型によって木に作用する群の研究であるバス・セール理論でも重要です。具体的には、木に有限頂点安定子とともに作用する任意の群は、融合自由積とHNN 拡張を使用して有限群から構成できます。双曲平面の特定のモザイク化に対するモジュラー群の作用を使用すると、この理論から、モジュラー群は、位数 2 の巡回群上に融合された位数 4 と 6 の巡回群の自由積に同型であることが分かります。

GとHが群である場合、GとH上の単語は次の形式の 列である。

${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n},}$

ここで、各s _{i は}Gの要素またはHの要素のいずれかです。このような単語は、次の操作を使用して 簡約できます。

• 単位元（GまたはHのいずれか）のインスタンスを削除します。
• g ₁ g ₂の形式のペアをGの積で置き換えるか、h ₁ h _{2のペアを}Hの積で置き換えます。

すべての簡約語は、空列であるか、GまたはHの要素を1つだけ含むか、Gの要素とHの要素が交互に並んだ列であるかのいずれかである。例：

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}$

自由積 G ∗ Hは、連結とそれに続く簡約の操作の下で、 GとHの簡約された語を要素とする群です。

たとえば、Gが無限巡回群で、H が無限巡回群である場合、G ∗ Hのすべての元はxの累乗とyの累乗の交代積になります。この場合、G ∗ Hはxとyによって生成される自由群と同型です。 ${\displaystyle \langle x\rangle }$${\displaystyle \langle y\rangle }$

仮に

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }$

はGの表現である（ここでS _Gは生成子の集合、R _{G は}関係の集合である）。そして、

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }$

はHのプレゼンテーションです。

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}$

つまり、G ∗ H は、 Gの生成元とHの生成元によって生成され、関係はGからの関係とHからの関係から構成されます (ここでは表記上の衝突がなく、これらは実際には互いに素な和集合であると仮定します)。

例えば、Gが位数4の巡回群であるとすると、

${\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,}$

Hは位数5の巡回群である。

${\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .}$

するとG ∗ Hは無限群である

${\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .}$

自由群には関係がないので、自由群の自由積は常に自由群となる。特に、

${\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},}$

ここで、F _{n は}n 個の生成元を持つ自由群を表します。

もう一つの例はモジュラー群 である。これは2つの巡回群の自由積と同型である: ^[1]${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )\cong (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\ast (\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} ).}$

より一般的な自由積と併合の構成は、同じカテゴリにおける特殊な種類のプッシュアウトに対応します。 と が、単射 (つまり、注入群準同型) とともに、前と同じように与えられているとします。${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle \varphi :F\rightarrow G\ \,}$そして${\displaystyle \ \,\psi :F\rightarrow H,}$

ここで、は任意のグループです。自由積から始めて、関係として接続します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G*H}$

${\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}$

の任意の に対してが成り立つ。言い換えれば、上の式の左辺のすべての元を含むの最小の正規部分群を取る。これは、と をそれらの自由積に含めることによって暗黙的に に含まれるものとみなされる。とを とに関して併合した自由積は、商群である。${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle G*H}$${\displaystyle G*H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle (G*H)/N.\,}$

この融合により、内のと 内の が要素ごとに同一視されるようになりました。これは、 が部分空間の基本群の役割を果たす、経路連結部分空間に沿って結合された 2 つの連結空間の基本群を計算するために必要な構成です。Seifert –van Kampen の定理を参照してください。 ${\displaystyle \varphi (F)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \psi (F)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F}$

KarrassとSolitarは、併合を伴う自由積の部分群の記述を与えた。^[2]例えば、およびによって誘導される商群からおよびへの準同型は両方とも単射であり、からの誘導準同型も同様である。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (G*H)/N}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle F}$

融合を伴う自由積と、それに密接に関連するHNN 拡張の概念は、木に作用する群の Bass-Serre 理論の基本的な構成要素です。

同様に、体上の代数を含む、群以外の代数構造の自由積を定義することもできます。ランダム変数の代数の自由積は、自由確率論で「自由性」を定義する際に、デカルト積が古典確率論で統計的独立性を定義する際に果たすのと同じ役割を果たします。

• グループの直積
• 副産物
• グループのグラフ
• クロシュ部分群定理
• 自由群と群の自由積の正規形
• 普遍的な財産