カテゴリー（数学）

数学において、カテゴリ(具象カテゴリと区別するために抽象カテゴリと呼ばれることもあります) は、「矢印」によってリンクされた「オブジェクト」の集合です。カテゴリには、矢印を結合的に構成できることと、各オブジェクトに恒等矢印が存在することという 2 つの基本特性があります。簡単な例として、オブジェクトが集合で矢印が関数である集合のカテゴリがあります。

カテゴリー理論は、数学のあらゆる分野を、そのオブジェクトや矢印が何を表しているかに関係なく、カテゴリーの観点から一般化しようとする数学の分野です。現代数学のほぼすべての分野は、カテゴリーの観点から説明することができ、そうすることで、一見異なる数学の分野間の深い洞察や類似点が明らかになることがよくあります。そのため、カテゴリー理論は、集合論やその他の提案された公理的基礎に代わる数学の基礎を提供します。一般に、オブジェクトと矢印はあらゆる種類の抽象的な実体である可能性があり、カテゴリーの概念は、数学的実体とその関係を説明する基本的かつ抽象的な方法を提供します。

数学を形式化するだけでなく、カテゴリー理論はプログラミング言語のセマンティクスなど、コンピュータサイエンスの他の多くのシステムを形式化するためにも使用されます。

2 つのカテゴリは、オブジェクトの集合、矢印の集合、および矢印のペアを構成する結合方法が同じである場合に同じです。2 つの異なるカテゴリは、構造がまったく同じでなくても、カテゴリ理論の目的上は「同等」であると見なされることもあります。

よく知られているカテゴリは、太字または斜体の短い大文字の単語または略語で示されます。例としては、集合と集合関数のカテゴリであるSet、環と環準同型のカテゴリであるRing、位相空間と連続写像のカテゴリであるTop などがあります。前述のカテゴリはすべて、恒等写像を恒等矢印として、合成を矢印の結合演算として持っています。

カテゴリー理論に関する古典的かつ現在でも広く使われているテキストは、サンダース・マックレーン著の「Categories for the Working Mathematician」です。その他の参考文献は、以下の参考文献に記載されています。この記事の基本的な定義は、これらの書籍の最初の数章に記載されています。

任意のモノイドは、特別な種類のカテゴリ（自己同型がモノイドの要素によって表される単一のオブジェクトを持つ）として理解でき、任意の事前順序も同様に理解できます。

カテゴリには多くの同等の定義がある。^[1]よく使われる定義の1つは次の通りである。カテゴリ Cは

• オブジェクトのクラスob ( C ) 、
• 射または矢印のクラス mor( C ) 、
• ドメインまたはソースクラス関数dom: mor(C ) → ob(C)、
• 共役領域またはターゲットクラス関数 cod: mor(C) → ob(C)、
• あらゆる 3 つのオブジェクトa、b、cに対して、二項演算 hom( a、b ) × hom( b、c ) → hom( a、c )を射の合成と呼びます。ここで、 hom( a、b ) は、 dom(f) = aかつ cod(f) = bとなるようなmor( C ) の射fのサブクラスを表します。このサブクラスの射はf  : a → bと表記され、 f  : a → bとg  : b → cの合成はg ∘ fまたはgfと表記されることが多いです。

以下の公理が成り立つ。

• 結合法則：f :  a → b 、 g :  b → c 、 h :  c → dならばh ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ fであり、
• (左単位法則と右単位法則) : すべてのオブジェクトxに対して、 x の恒等射と呼ばれる射 1 _x  : x → x ( id _xと書く著者もいる)が存在し、すべての射f  : a → x は1 _x ∘ f = fを満たし、すべての射g  : x → b はg ∘ 1 _x = g を満たします。

f : a → bと書き、「 f はaからbへの射である」と言う。 a からbへのすべての射のhom クラスを表すために hom( a , b ) (または、 hom( a , b ) がどのカテゴリを指すかが混乱する可能性がある場合にはhom _C ( a , b ) ) と書く。^[2]

著者によっては、 g ∘ fの代わりにf;gまたはfgと書き、射の合成を「図式的な順序」で書きます。

これらの公理から、すべてのオブジェクトに対して正確に 1 つの恒等射が存在することを証明できます。各オブジェクトに恒等射を割り当てるマップは、カテゴリの構造の追加部分、つまりクラス関数 i: ob(C) → mor(C) として扱われることがよくあります。著者の中には、各オブジェクトが対応する恒等射と同一視されるという定義のわずかなバリエーションを使用する人もいます。これは、カテゴリの基本データは射であり、オブジェクトではないという考えに由来しています。実際、追加のプロパティを持つ部分的な 2 項演算を使用して、オブジェクトをまったく参照せずにカテゴリを定義できます。

カテゴリC は、 ob( C ) と hom( C ) の両方が実際に集合であり、適切なクラスではない場合、小さいカテゴリと呼ばれます。そうでない場合は大きいカテゴリと呼ばれます。局所的に小さいカテゴリとは、すべてのオブジェクトaとbに対して、ホムクラス hom( a、b ) がホムセットと呼ばれる集合であるカテゴリです。数学の多くの重要なカテゴリ (集合のカテゴリなど) は、小さくはありませんが、少なくとも局所的には小さいです。小さいカテゴリでは、オブジェクトが集合を形成するため、小さいカテゴリはモノイドに似た代数構造と見なすことができますが、閉包特性は必要ありません。一方、大きいカテゴリは、代数構造の「構造」を作成するために使用できます。

すべての集合（オブジェクトとして）とそれらの間のすべての関数（射として）のクラス（射の合成は通常の関数合成）は、大きなカテゴリSetを形成します。これは、数学で最も基本的かつ最も一般的に使用されるカテゴリです。カテゴリRel は、すべての集合（オブジェクトとして）とそれらの間の二項関係（射として）で構成されます。関数の代わりに関係から抽象化すると、特別なカテゴリのクラスで ある寓話 が生成されます。

任意のクラスは、唯一の射が恒等射であるカテゴリとして見ることができます。このようなカテゴリは離散カテゴリと呼ばれます。任意の与えられた集合 Iに対して、I 上の離散カテゴリは、 Iの要素をオブジェクトとして持ち、射として恒等射のみを持つ小さなカテゴリです。離散カテゴリは、最も単純な種類のカテゴリです。

任意の順序付き集合( P , ≤) は小カテゴリを形成し、オブジェクトはPのメンバーであり、射はx ≤ y のときにxからyを指す矢印です。さらに、≤が反対称である場合、任意の 2 つのオブジェクト間には最大で 1 つの射が存在します。恒等射の存在と射の合成可能性は、順序の反射性と推移性によって保証されます。同じ議論により、任意の部分順序付き集合と任意の同値関係は小カテゴリと見なすことができます。任意の順序数は、順序付き集合として見るとカテゴリと見なすことができます。

任意のモノイド(単一の結合二項演算と単位元を持つ任意の代数構造) は、単一のオブジェクトxを持つ小さなカテゴリを形成します(ここで、xは任意の固定された集合です)。xからxへの射はまさにモノイドの要素であり、xの単位元射はモノイドの単位元であり、射のカテゴリカルな合成はモノイド演算によって与えられます。 モノイドに関するいくつかの定義と定理は、カテゴリに一般化できます。

同様に、任意のグループは、すべての射が可逆である単一のオブジェクトを持つカテゴリとして見ることができます。つまり、すべての射fに対して、合成によってf の左逆と右逆になる射gが存在します。この意味で可逆な射は同型と呼ばれます。

類群は、すべての射が同型であるような範疇である。類群は、群、群作用、同値関係の一般化である。実際、範疇の観点からは、類群と群の唯一の違いは、類群は複数のオブジェクトを持つことができるが、群は 1 つのオブジェクトしか持たないということである。位相空間Xを考え、 Xの基点 を固定すると、 は位相空間Xの基本群と基点となり、集合として群 の構造を持つ。次に、基点 がXのすべての点を通るようにし、すべての の和集合を取ると、得られる集合は類群 の構造のみを持つ（これをXの基本類群と呼ぶ）。2 つのループ（ホモトピーの同値関係の下で）は同じ基点を持たないため、互いに乗算できない。カテゴリーの言語では、これは、2 つの射が同じソース オブジェクト (またはターゲット オブジェクト。この場合、どの射でもソース オブジェクトとターゲット オブジェクトは同じ (基点) であるため) を持たない可能性があるので、互いに合成できないことを意味します。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x_{0})}$

任意の有向グラフは 小さなカテゴリを生成します。オブジェクトはグラフの頂点であり、射はグラフ内のパス (必要に応じてループで拡張) です。射の合成はパスの連結です。このようなカテゴリは、グラフによって生成される 自由カテゴリと呼ばれます。

順序保存関数（つまり、単調増加関数）を射として持つすべての順序付き集合のクラスは、カテゴリOrd を形成します。これは具体的なカテゴリ、つまり、 Setに何らかの構造を追加して取得されるカテゴリであり、射はこの追加された構造を尊重する関数である必要があります。

群準同型を射として、関数合成を合成演算として持つすべての群のクラスは、大きなカテゴリGrp を形成します。Ordと同様に、Grp は具体的なカテゴリです。すべてのアーベル群とその群準同型からなるカテゴリAbは、 Grpの完全なサブカテゴリであり、アーベルカテゴリのプロトタイプです。

すべてのグラフのクラスは別の具体的なカテゴリを形成し、そこでは射はグラフ準同型 (つまり、すべての隣接関係と接続関係を保持する方法で頂点を頂点に、辺を辺に送信するグラフ間のマッピング) です。

具体的なカテゴリーの他の例を次の表に示します。

ファイバーバンドルは、その間にバンドルマップを持ち、具体的なカテゴリを形成します。

カテゴリCat はすべての小さなカテゴリから構成され、それらの間の関数は射として存在します。

任意のカテゴリC は、それ自体が別の方法で新しいカテゴリとして考えることができます。つまり、オブジェクトは元のカテゴリのものと同じですが、矢印は元のカテゴリの矢印を反転したものです。これは双対カテゴリまたは反対カテゴリと呼ばれ、C ^opと表記されます。

CとD がカテゴリである場合、積カテゴリ C × Dを形成できます。オブジェクトは、Cからの 1 つのオブジェクトとDからの 1 つのオブジェクトで構成されるペアであり、射も、 C内の 1 つの射とD内の 1 つの射で構成されるペアです。このようなペアは、コンポーネントごとに構成できます。

射f  : a → bは ​

• 左キャンセル可能な場合、すなわちfg ₁ = fg ₂であればすべての射g ₁ , g ₂  : x → aに対してg ₁ = g ₂が成り立つ場合、単射（またはモニック）です。
• 右キャンセル可能な場合、すなわちg ₁ f = g ₂ fであればすべての射g ₁ , g ₂  : b → xに対してg ₁ = g ₂が成り立つ場合、エピモーフィズム（またはエピック）である。
• 単射かつエピモーフィズムである場合は双射である。
• 右逆を持つ場合、つまりfg = 1 bとなる射g  : b → aが存在する場合_は撤回。
• 左逆を持つ場合、つまりgf = 1 _aとなる射g  : b → aが存在する場合、セクションとなります。
• 同型とは、逆写像を持つ場合、つまり、 fg = 1 _bかつgf = 1 _aとなる写像g  : b → aが存在する場合である。
• a = bならば自己準同型。aの自己準同型のクラスはend( a ) で表されます。局所的に小さいカテゴリの場合、end( a ) は集合であり、射合成によってモノイドを形成します。
• fが自己準同型かつ同型であるとき、自己同型である。 aの自己同型のクラスはaut( a ) と表記される。局所的に小さいカテゴリの場合、それは射合成によってaの自己同型群と呼ばれる群を形成する。

すべての撤回はエピモーフィズムです。すべてのセクションはモノモーフィズムです。次の 3 つのステートメントは同等です。

• f は単射であり、かつ撤回である。
• f はエピモーフィズムとセクションです。
• f は同型です。

射間の関係（ fg = hなど）は、オブジェクトが点として、射が矢印として表される 可換図で最も便利に表現できます。

• 多くのカテゴリ、例えばAbやVect _Kでは、ホム集合 hom( a , b ) は単なる集合ではなく、実際にはアーベル群であり、射の合成はこれらの群構造と互換性があります。つまり、双線型です。このようなカテゴリは前加法と呼ばれます。さらに、カテゴリがすべての有限積と余積を持つ場合、加法カテゴリと呼ばれます。すべての射が核と余核を持ち、すべてのエピモーフィズムが余核で、すべての単射が核である場合、アーベルカテゴリと呼ばれます。アーベルカテゴリの典型的な例は、アーベル群のカテゴリです。
• すべての小さな極限がその中に存在する場合、そのカテゴリは完全であると呼ばれます。集合、アーベル群、位相空間のカテゴリは完全です。
• カテゴリが直積を有限個持ち、有限積上に定義された射が常に因子の 1 つ上に定義された射によって表される場合、そのカテゴリは直積閉と呼ばれます。例としては、 Setや、スコット連続関数を持つ完全半順序カテゴリCPOなどがあります。
• トポスは、すべての数学を定式化できる特定の種類のデカルトの閉じたカテゴリです (古典的にすべての数学が集合のカテゴリで定式化されるのと同じように)。トポスは、論理理論を表すためにも使用できます。

• 強化されたカテゴリ
• 高等圏理論
• クアンタロイド
• 数学記号表
• 宇宙（数学）
• 構造（数学）