フラットトポロジー

数学において、平坦位相は代数幾何学で使用されるグロタンディーク位相である。平坦コホモロジーの理論を定義するために使用され、また、降下理論（忠実に平坦な降下）において基本的な役割を果たす。 ^{[1]ここでの}平坦という用語は、平坦モジュールに由来する。

わずかに異なる平坦位相がいくつか存在しますが、最も一般的なものはfppf 位相とfpqc 位相です。 fppf はfidèlement plate de présentation finieの略で、この位相では、アフィン スキームの射は、それが忠実に平坦で有限のプレゼンテーションである場合に被覆射となります。 fpqcはfidèlement plate et quasi-compacteの略で、この位相では、アフィン スキームの射は、それが忠実に平坦である場合に被覆射となります。 どちらのカテゴリでも、被覆族は、ザリスキ開集合上の被覆となる族として定義されます。^[2] fpqc 位相では、忠実に平坦で準コンパクトな射は被覆です。^{[3]これらの位相は、}降下 と密接に関連しています。準コンパクト性や有限表現などのさらなる有限性条件のない「純粋な」忠実に平坦な位相は、準標準ではないためあまり使用されません。言い換えると、表現可能な関数は層である必要はありません。

残念ながら、フラット トポロジの用語は標準化されていません。一部の著者はプレトポロジに対して「トポロジ」という用語を使用していますが、fppf または fpqc (プレ) トポロジと呼ばれるわずかに異なるプレトポロジがいくつかあり、同じトポロジになることもあります。

平坦コホモロジーは1960年頃にグロタンディークによって導入された。^[4]

Xをアフィンスキームとする。Xのfppf被覆を有限かつ共射影な射影族として 定義する。

( φ _a  : X _a → X )

ここで、各X は_アフィンであり、各φ は_平坦 で有限に提示される。これによりプレトポロジーが生成され、任意のXに対して、 Xの fppf 被覆を族として 定義する。

( φ _a  : X _a → X )

これは、 Xの開いたアフィン部分スキームへの基底変換後の fppf 被覆です。このプレトポロジーは、fppf トポロジーと呼ばれるトポロジーを生成します。(これは、任意のXとX _aから始めて、被覆族を平坦で有限に提示された射の共同射影族とした場合に得られるトポロジーとは異なります。) fppf トポロジーを持つスキームのカテゴリを Fppf と書きます。

Xの小さな fppf サイトはカテゴリO ( X fppf ) であり、そのオブジェクト_は、ある被覆族の一部である固定された射U → Xを持つスキームUです。(これは、射が平坦で有限に提示されていることを意味するものではありません。) 射は、Xへの固定された写像と互換性のあるスキームの射です。Xの大きな fppf サイトはカテゴリFppf/X、つまり、fppf 位相で考慮される、 Xへの固定された写像を持つスキームのカテゴリです。

「Fppf」は「fidèlement plate de présentation finie」の略語で、つまり「忠実に平坦で有限の表現」を意味します。平坦で有限に表現された射影のすべての射影族は、この位相の被覆族であるため、この名前が付けられています。fppf プレトポロジーの定義は、追加の準有限性条件で与えることもできます。これは、EGA IV ₄の系 17.16.2 から、同じ位相を与えることがわかります。

X をアフィンスキームとします。X の fpqc 被覆を、各 X α がアフィンで各 u α が平坦である有限かつ共射的な射の族 { u α : X α → X } と定義します。これにより_、プレトポロジー_が生成されます。任意の X に対して、X の fpqc 被覆を、X_の開いたアフィンサブ スキームへ_の基底変換後のfpqc被覆である族 { u α : X α → X } と定義します。このプレ_{トポロジー} により、_fpqcトポロジーと呼ばれるトポロジーが生成されます。 (これは、任意のXとX _αから始めて、被覆族を平坦射の共射的な族とした場合に得られるトポロジーとは異なります。) fpqc トポロジーを持つスキームのカテゴリを Fpqc と書きます。

Xの小さな fpqc サイトはカテゴリO ( X fpqc ) であり、そのオブジェクト_は、ある被覆族の一部である固定された射U → Xを持つスキームUです。射は、 Xへの固定された写像と互換性のあるスキームの射です。Xの大きな fpqc サイトはカテゴリFpqc/X 、つまり、 fpqc 位相で考慮される、 Xへの固定された写像を持つスキームのカテゴリです。

「Fpqc」は「fidèlement plate quasi-compacte」の略語で、つまり「忠実に平坦かつ準コンパクト」という意味です。平坦かつ準コンパクトな射影のすべての射影族は、この位相の被覆族であるため、この名前が付けられています。

コホモロジー群を定義する手順は標準的なものです。コホモロジーは、アーベル群の層のセクションを取る関数の導来関数の列として定義されます。

このような群には多くの応用がありますが、エタールコホモロジーなどの他の理論に還元される場合を除いて、一般に計算は容易ではありません。

次の例は、有限性条件のない「忠実に平坦な位相」がなぜうまく動作しないかを示しています。Xが代数的に閉じた体k上のアフィン直線であるとします。Xの各閉じた点xに対して、この点での局所環R _{x を}考えることができます。これは、スペクトルに 1 つの閉じた点と 1 つの開いた (一般的な) 点がある離散的付値環です。これらのスペクトルを開いた点を特定して 1 つにまとめると、スキームYが得られます。 YからXへの自然な写像があります。アフィン直線Xは、忠実に平坦な位相で開いている集合 Spec( R _x )で覆われ、これらの集合のそれぞれにYへの自然な写像があり、これらの写像は交差点で同じです。ただし、 XとYの基底空間の位相が異なるため、 これらを組み合わせてXからYへの写像を作成することはできません。

• fpqc モルフィズム

• 幾何学的計算の要素、Vol. IV. 2
• ミルン、ジェームスS. (1980)、『エタール コホモロジー』、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08238-7 
• マイケル・アルティンとJSミルン、「曲線の平坦コホモロジーにおける双対性」、Inventiones Mathematicae、第35巻、第1号、1976年12月

• ジェームズ・ミルンのオンラインブック「算術双対定理（PDF）」は、ガロア・コホモロジーのテイト・ポワトゥー双対性に由来する平坦コホモロジーの双対定理のレベルで説明しています。